Laajennettu kaava numeron kirjoittamiseen. Laajennetut ja kutistetut numeroiden kirjoitusmuodot. Sääntö kokonaislukujen desimaalilukujen muuntamisesta lukujärjestelmäksi, jonka kantaluku on q
NUMEROJÄRJESTELMÄT JA
NUMEROJEN SIIRTO JÄRJESTELMÄSTÄ TOISEEN
Numerojärjestelmä (SS) - se on tapa esittää numeroita ja niitä vastaavia sääntöjä.
Numerojärjestelmät jaetaan paikkatietoihin ja ei-sijaintiin.
Numerojärjestelmän perusta- nimeä numeroiden määrä, jota käytetään numeroiden kirjoittamiseen
SS aakkoset- Nimeä kaikki numerot (merkit), joita käytetään numeroiden kirjoittamiseen
Laajennettu numeron kirjoittamisen muoto
Aq = a n a n-1 ..a 1 a 0 = a n q n + a n-1 q n-1 +..a 1 q 1 + a 0 q 0
q - kanta
a i - numeroa
n - kokonaislukuosan numeroiden lukumäärä
m - murto-osan numeroiden lukumäärä
123,45 10 =100+20+3+0,4+0,05=1∙10 2 +2∙10 1 +3∙10 0 +4∙10 -1 +5∙10 -2
123,45 8 =1∙8 2 +2∙8 1 +3∙8 0 +4∙8 -1 +5∙8 -2
Taulukko lukujen vastineista
| q = 10 | q = 16 | q = 12 | q = 8 | q = 5 | q = 4 | q = 2 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 10 |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 11 |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 10 | 100 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 10 | 11 | 101 |
| 6 | 6 | 6 | 6 | 11 | 12 | 110 |
| 7 | 7 | 7 | 7 | 12 | 13 | 111 |
| 8 | 8 | 8 | 10 | 13 | 20 | 1000 |
| 9 | 9 | 9 | 11 | 14 | 21 | 1001 |
| 10 | A | A | 12 | 20 | 22 | 1010 |
| 11 | SISÄÄN | SISÄÄN | 13 | 21 | 23 | 1011 |
| 12 | KANSSA | 10 | 14 | 22 | 30 | 1100 |
| 13 | D | 11 | 15 | 23 | 31 | 1101 |
| 14 | E | 12 | 16 | 24 | 32 | 1110 |
| 15 | F | 13 | 17 | 30 | 33 | 1111 |
| 16 | 10 | 14 | 20 | 31 | 100 | 10000 |
Vastaavien numerojärjestelmien aakkoset on lihavoitu.
Sääntö luvun muuntamiseksi mistä tahansa numerojärjestelmästä desimaaliksi
Muuntaaksesi luvun desimaaliksi sinun tulee:
1. kirjoita numero laajennetussa muodossa
2. Muunna kaikki numerot desimaaliluvuiksi (SS:lle, jossa q>10)
3. laske tuloksena olevan lausekkeen arvo
123,45 8 =1∙8 2 +2∙8 1 +3∙8 0 +4∙8 -1 +5∙8 -2 =64+16+3+0,5+5/64=83,578 10
1BE,84 16 = 1∙16 2 + B∙16 1 +E∙16 0 +8∙16 -1 +4∙16 -2 =
1∙16 2 +11 ∙16 1 +14 ∙16 0 +8∙16 -1 +4∙16 -2 =
256+11∙16+14∙1+0,5+0,015=446,515 10
Ratkaise esimerkkejä:
2) 150 6 = A 10
4) DF 18 = A 10
5) 1AB 16 = A 10
Kokonaisluvun käännössääntö desimaalilukuja muihin numerojärjestelmiin:
1. Suorita johdonmukaisesti jako tietyn luvun jäännöksellä ja tuloksena olevilla epätäydellisillä osamäärällä uuden SS:n perusteella, kunnes saamme epätäydellisen osamäärän, joka on pienempi kuin jakaja.
2. Tuloksena olevat saldot, jotka ovat numeron numeroita uudessa SS:ssä, saatetaan linjaan uuden SS:n aakkosten kanssa (SS:lle, jossa q> 10)
3. Kirjoita luku uudessa SS:ssä ja kirjoita muistiin kaikki jäännökset, alkaen viimeisestä osamäärästä
| 19 10 = 10011 2 |  |
| 19 10 = 13 16 | |
| 205 10 = CD 16 |  |
Ratkaise esimerkkejä:
1) 5 10 = A 5 = A 8 = A 15 = A 18
2) 15 10 = A 5 = A 8 = A 15 = A 18
1) 150 10 = A 5 = A 8 = A 15 = A 18
Nopea muunnos binäärilukujärjestelmään laajentamalla kahden potenssiin
On kätevää muuntaa luku binääriseksi SS:ksi joillekin luvuille toisella tavalla: laajentamalla kahden potenssiin. Tietysti tätä varten pitää tietää nämä tutkinnot ulkoa ;-)
19 10 = 16 + 2 + 1 = 2 4 + 2 1 + 2 0 =1∙2 4 + 0∙2 3 +0∙2 2 +1∙2 1 + 1∙2 0 =10011 2
Voit ohittaa numeron laajennetun muodon. Jos on aste, niin laitetaan yksi, jos astetta ei ole järjestykseen (esimerkissämme 3 ja 2), niin laitetaan sinne 0.
19 10 = 16 + 2 + 1 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 10011 2
Tämä menetelmä on erityisen kätevä lukuille, joiden arvo on lähellä astetta.
Ratkaise esimerkkejä:
1) 161 10 = A 2
1) 321 10 = A 2
1) 600 10 = A 2
Sääntö binääriluvun muuntamiseksi SS:ksi, jonka kanta on q=2 n
1. jaa tämä binääriluku alkaen pilusta (kokonaisluku ja murto-osa) n numeron ryhmiin
Kysymyksen osiossa Mitä ovat kaksi numeroiden kirjoitustapaa? kirjoittajan antama prosphora paras vastaus on Paikkalukujärjestelmissä luvun kvantitatiivinen ekvivalentti (arvo) riippuu sen paikasta (paikasta) luvun merkinnässä.
Numeron paikkaa numerossa kutsutaan numeroksi.
Numeron numero kasvaa oikealta vasemmalle, alemmista suurempiin numeroihin.
Paikkalukujärjestelmän kanta on kokonaisluku, joka on yhtä suuri kuin numeroiden lukumäärä, jota käytetään esittämään numeroita tässä numerojärjestelmässä.
Kanta osoittaa, kuinka monta kertaa luvun määrällinen arvo muuttuu, kun se siirretään alempaan tai korkeampaan numeroon.
SIJAINTINUMEROJÄRJESTELMÄT, JOLLA MIELIMAINEN TUKI
On mahdollista käyttää monia paikkalukujärjestelmiä, joiden kantaluku on yhtä suuri tai suurempi kuin 2.
Lukujärjestelmissä, joissa on kantaluku q (q-lukujärjestelmä), laajennetussa muodossa olevat luvut kirjoitetaan useiden kantaluvun q summana kertoimilla, jotka ovat luvut 0, 1, ..., q-1.
tai
Aq on luku q-lukujärjestelmässä,
q on lukujärjestelmän kanta,
Ai - tämän numerojärjestelmän aakkostoon kuuluvat numerot,
n on luvun kokonaislukujen lukumäärä,
m on luvun murto-osien lukumäärä.
Kertoimet ai ovat q-lukujärjestelmään kirjoitetun luvun numeroita.
Tiivistetty numeromerkintä:
Käytämme taitettua merkintämuotoa numeroille Jokapäiväinen elämä,
sitä kutsutaan luonnolliseksi tai digitaaliseksi.
Murtolukujen kirjoittamiseen käytetään numeroita, joilla on negatiivinen perusaste.
DESIMAALINUMEROJÄRJESTELMÄ
Perus: q = 10.
Aakkoset: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Tiivistetty numeromerkintä:
Laajennettu numeron kirjoitusmuoto:
Kertoimet ai - desimaaliluvun numerot.
Esimerkiksi numero 123.4510 laajennetussa muodossa kirjoitetaan seuraavasti:
Desimaaliluvun kertominen tai jakaminen 10:llä (kannan arvo) siirtää pilkun, joka erottaa kokonaisluvun yhdestä murtoluvusta, oikealle tai vasemmalle. Esimerkiksi:
123,4510 10 = 1234,510;
123,4510: 10 = 12,34510.
Paikkalukujärjestelmän kanta on kokonaisluku q, joka nostetaan potenssiin.
Paikkalukujärjestelmän perusta on numerosarja, joista jokainen määrittää symbolin kvantitatiivisen ekvivalentin (painon) riippuen sen paikasta numerokoodissa.
Desimaaliluku: …10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…
Mielivaltaisen paikkalukujärjestelmän perusta: ... q n, q n –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m, …
Missä tahansa järjestelmässä kanta on kuvattu 10:nä, mutta sillä on erilainen määrällinen arvo. Se näyttää kuinka monta kertaa numeron määrällinen arvo muuttuu, kun se siirretään viereiseen paikkaan. Monet paikkajärjestelmät ovat mahdollisia, koska mikä tahansa luku, vähintään 2, voidaan ottaa numerojärjestelmän perustaksi.
Numerojärjestelmän nimi vastaa sen kantaa (desimaali, binääri, kvinaari jne.).
Perusnumerojärjestelmässä q (q-aarilukujärjestelmä) numeroyksiköt ovat luvun peräkkäisiä potenssia q, toisin sanoen, q minkä tahansa luokan yksiköt muodostavat seuraavan luokan yksikön.
Numeroiden kirjoittamiseen q- vaadittava numerojärjestelmä q erilaisia merkkejä (numeroita), jotka edustavat numeroita 0, 1, ..., q – 1.
Siksi paikkalukujärjestelmän kanta on yhtä suuri kuin sen aakkosten merkkien (merkkien) lukumäärä. Numeron kirjoittaminen q V q-aarilukujärjestelmällä on muoto 10.
Esimerkki 1 Oktaalilukujärjestelmä.
Perus: q = 8.
Aakkoset: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja 7.
Numerot: esimerkiksi 45023.152 8 ; 751.001 8 .
Esimerkki 2 Viisinkertainen lukujärjestelmä .
Perus: q = 5.
Aakkoset: 0, 1, 2, 3 ja 4.
Numerot: esimerkiksi 20304 5 ; 324,03 5 .
Esimerkki 3 Heksadesimaalilukujärjestelmä.
Perus: q = 16.
Aakkoset: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Tässä vain kymmenellä numerolla kuudestatoista on yleisesti hyväksytty nimitys 0-9. Aakkosten jäljellä olevien merkkien (10, 11, 12, 13, 14 ja 15) kirjoittamiseen käytetään yleensä latinalaisten aakkosten viittä ensimmäistä kirjainta.
Numerot: esimerkiksi B5C3,1A2 16; 355.0FA01 8 .
Paikkalukujärjestelmässä mikä tahansa oikea numero voidaan esittää seuraavassa muodossa:
A q = ±( a n–1× q n –1 + a n–2× q n –2 +…+ a 0 × q 0 + a–1× q –1 + a–2× q –2 +…+ a –m × q-m), (1) tai ±.
Tässä A - itse numero; q- kantasana;
a i- tietyn numerojärjestelmän aakkosiin kuuluvat numerot; P - luvun kokonaislukujen lukumäärä; T - luvun murto-osien lukumäärä.
Kaavan (1) mukaista luvun laajennusta kutsutaan laajennettu merkintätapa . Muuten tätä merkintätapaa kutsutaan polynomi tai tehoa.
Esimerkki 1 Desimaaliluku A 10 = 5867,91 kaavan (1) mukaisesti esitetään seuraavasti:
A 10 \u003d 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 -1 + 1 × 10 -2.
Esimerkki 2 Oktaalilukujärjestelmän kaava (1) on muotoa:
A 8 = ±( a n–1×8 n –1 + a n-2 × 8 n –2 +…+ a 0 × 80 + a–1 × 8 –1 + a–2 × 8 –2 +…+ olen×8 - m),
Missä a i- numerot 0-7.
Oktaaliluku A 8 \u003d 7064.3 muodossa (1) kirjoitetaan seuraavasti:
A 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 -1.
Esimerkki 3 viisinkertainen luku A 5 \u003d 2430.21 kaavan (1) mukaisesti kirjoitetaan seuraavasti:
A 5 = 2 x 5 3 + 4 x 5 2 + 3 x 5" + 0 x 5° + 2 x 5 -1 + 1 x 5 -2.
Arvioimalla tämän lausekkeen saat määritetyn kvinaariluvun desimaaliluvun: 365.44 10 .
Esimerkki 4 Heksadesimaalimuodossa merkintä 3 AF 16 tarkoittaa:
3AF 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10 .
Antaa Aq- numero perusjärjestelmässä q, ai - tietyn numerojärjestelmän numerot, jotka ovat läsnä luvun merkinnässä A, n+ 1 - luvun kokonaislukuosan numeroiden lukumäärä, m- luvun murto-osan numeroiden lukumäärä:
Numeron laajennettu muoto A kutsutaan tietueeksi muodossa:
Esimerkiksi desimaaliluku:
SISÄÄN seuraavat esimerkit heksadesimaali- ja binäärilukujen laajennettu muoto on annettu:
Missä tahansa lukujärjestelmässä sen kantaluku on 10.
Jos kaikki ei-desimaaliluvun laajennetussa muodossa olevat termit esitetään desimaalijärjestelmässä ja tuloksena oleva lauseke lasketaan desimaaliaritmeettisten sääntöjen mukaan, saadaan desimaalijärjestelmän luku, joka on sama kuin annettu. Tämän periaatteen mukaisesti muunnetaan ei-desimaalijärjestelmästä desimaalijärjestelmään. Esimerkiksi yllä kirjoitettujen lukujen muuntaminen desimaalijärjestelmään tapahtuu seuraavasti:
Desimaalilukujen muuntaminen muihin lukujärjestelmiin
Kokonaislukujen käännös
kokonaisluku desimaaliluku X on siirrettävä järjestelmään, jossa on kanta q: X = (a n a n-1... a 1 a 0) q. Sinun on löydettävä luvun merkitsevät numerot: 
.Esitetään numero laajennetussa muodossa ja suoritetaan identtinen muunnos:
Tästä se on selvää a 0 on luvun jaon jäännösosa X numeroa kohti q. Suluissa oleva lauseke on tämän jaon kokonaislukuosamäärä. Nimetään se nimellä X 1. Suorittamalla samanlaisia muunnoksia saamme:
Siten, a 1 on jaon loppuosa X 1 päälle q. Jatkamalla jakoa jäännöksellä, saamme halutun luvun numerosarjan. Määrä an tässä jakoketjussa on viimeinen yksityinen, pienempi q.
Muotoillaan tuloksena oleva sääntö: Jotta voit muuntaa kokonaisen desimaaliluvun lukujärjestelmäksi, jolla on eri kanta, tarvitset:
1) ilmaista uuden lukujärjestelmän kanta desimaalilukujärjestelmässä ja suorittaa kaikki myöhemmät toiminnot desimaaliaritmeettisten sääntöjen mukaisesti;
2) jaetaan peräkkäin annettu luku ja tuloksena saadut osaosamäärät uuden lukujärjestelmän perusteella, kunnes saadaan epätäydellinen osamäärä, joka on pienempi kuin jakaja;
3) tuloksena olevat jäännökset, jotka ovat luvun numeroita uusi järjestelmä calculus, saa se uuden numerojärjestelmän aakkosten mukaiseksi;
4) muodostaa luku uudessa numerojärjestelmässä, kirjoittamalla se muistiin viimeisestä osamäärästä alkaen.
Esimerkki 1 Muunna numero 37 10 binäärijärjestelmäksi.
Käytämme symboliikkaa merkitsemään numeroita numeromerkinnöissä: a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0
Näin ollen: 37 10 = l00l0l 2
Esimerkki 2 Muunna desimaaliluku 315 oktaali- ja heksadesimaalijärjestelmiksi:
Tästä seuraa: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Muista, että 11 10 = B 16 .
Desimaali X < 1 требуется перевести в систему с основанием q: X = (0, a –1 a –2 … a–m+1 a–m) q. Sinun on löydettävä luvun merkitsevät numerot: a –1 ,a –2 , …, a–m. Esitetään luku laajennetussa muodossa ja kerrotaan se q:
Tästä se on selvää a-1 on koko työn osa X numeroa kohti q. Merkitse X 1 murto-osa tuotteesta ja kerro se q:
Siten, a-2 on koko tuotteen osa X 1 per numero q. Jatkamalla kertolaskua, saamme numerosarjan. Muotoillaan nyt sääntö: jotta voit muuntaa desimaalimurtoluvun lukujärjestelmäksi, jolla on eri kanta, tarvitset:
1) kerrotaan peräkkäin annettu luku ja tuloksena saadut tulojen murto-osat uuden järjestelmän perusteella, kunnes tulon murto-osa on yhtä suuri kuin nolla tai saavutetaan vaadittu luvun esittämisen tarkkuus uudessa lukujärjestelmässä;
2) tuloksena saadut tulojen kokonaislukuosat, jotka ovat luvun numeroita uudessa numerojärjestelmässä, saattavat ne linjaan uuden numerojärjestelmän aakkosten kanssa;
3) muodostaa luvun murto-osa uudessa lukujärjestelmässä alkaen ensimmäisen tulon kokonaislukuosasta.
Esimerkki 3 Muunna desimaaliluku 0,1875 binääri-, oktaali- ja heksadesimaalilukuiksi.
Tässä numeroiden kokonaislukuosa on vasemmassa sarakkeessa ja murto-osa oikeassa sarakkeessa.
Näin ollen: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16
Sekalukujen käännös, joka sisältää kokonaisluku- ja murto-osia, suoritetaan kahdessa vaiheessa. Alkuperäisen luvun kokonaisluku- ja murto-osa käännetään erikseen vastaavien algoritmien mukaisesti. Uuden numerojärjestelmän luvun lopullisessa tietueessa kokonaislukuosa erotetaan murto-pilkusta (pisteestä).
Aihe ”Lukujärjestelmät” liittyy suoraan lukujen matemaattiseen teoriaan. Matematiikan koulukurssilla sitä ei kuitenkaan yleensä opita. Tarve tutkia tätä aihetta tietojenkäsittelytieteen kurssilla liittyy siihen, että tietokoneen muistissa olevat luvut esitetään binäärilukujärjestelmässä, ja heksadesimaali- tai oktaalijärjestelmiä käytetään ulkoisesti edustamaan muistin sisältöä, muistiosoitteita. Tämä on yksi tietojenkäsittelytieteen tai ohjelmointikurssin perinteisistä aiheista. Matematiikkaan liittyvä aihe edistää myös koululaisten matematiikan peruskasvatusta.
Tietojenkäsittelytieteen kurssilla tärkein kiinnostus on binäärilukujärjestelmän tuntemus. Binäärilukujärjestelmän käyttöä tietokoneessa voidaan tarkastella kahdella tavalla: 1) binäärinumerointi, 2) binääriaritmetiikka, ts. suorittaa aritmeettisia laskutoimituksia binääriluvuille.
Binäärinumerointi
Binäärinumeroinnin avulla opiskelijat tapaavat aiheessa "Tekstin esittäminen tietokoneen muistissa". Koodaustaulukosta puhuessaan opettajan tulee kertoa opiskelijoille, että merkin sisäinen binäärikoodi on sen sarjanumero binäärilukujärjestelmässä. Esimerkiksi S-kirjaimen numero ASCII-taulukossa on 83. Kirjaimen S kahdeksannumeroinen binäärikoodi on yhtä suuri kuin tämän luvun arvo binäärijärjestelmässä: 01010011.
Binäärilaskenta
John von Neumannin periaatteen mukaan tietokone suorittaa laskelmia binäärijärjestelmässä. Peruskurssin puitteissa riittää, että rajoitamme binäärikokonaislukujen laskelmien huomioimiseen. Jotta voit suorittaa laskutoimituksia moninumeroisilla luvuilla, sinun on tiedettävä yhteenlaskusäännöt ja yksinumeroisten lukujen kertomissäännöt. Tässä säännöt:
Yhteen- ja kertolaskujen permutatiivisuuden periaate toimii kaikissa lukujärjestelmissä. Tekniikat suorittaa laskutoimituksia moninumeroisilla luvuilla binäärijärjestelmässä ovat samanlaisia kuin desimaaliluvuilla. Toisin sanoen binäärijärjestelmässä yhteen-, vähennys- ja "sarakkeella" kertominen ja "nurkalla" jakaminen suoritetaan samalla tavalla kuin desimaalijärjestelmässä.
Harkitse binäärilukujen vähentämisen ja jakamisen sääntöjä. Vähennysoperaatio on summauksen käänteinen. Yllä olevasta summaustaulukosta vähennyssäännöt seuraavat:
0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.
Tässä on esimerkki moninumeroisesta vähentämisestä:
Saatu tulos voidaan tarkastaa lisäämällä ero aliarvolla. Sen pitäisi olla laskeva luku.
Jako on kertolaskujen käänteinen operaatio.
Missään lukujärjestelmässä et voi jakaa nollalla. Yhdellä jaon tulos on yhtä suuri kuin osinko. Binääriluvun jakaminen 102:lla siirtää desimaalipilkun yhden paikan vasemmalle, aivan kuten desimaalijako kymmenellä. Esimerkiksi:
Jakaminen 100:lla siirtää desimaalipilkun 2 paikkaa vasemmalle ja niin edelleen. Peruskurssilla et voi harkita monimutkaisia esimerkkejä moniarvoisten binäärilukujen jakamisesta. Vaikka kyvykkäät opiskelijat voivat selviytyä niistä, ymmärtäessään yleiset periaatteet.
Tietokoneen muistiin tallennetun tiedon esittäminen sen todellisessa binäärimuodossa on suuren numeromäärän vuoksi erittäin hankalaa. Tämä tarkoittaa tällaisten tietojen tallentamista paperille tai niiden näyttämistä näytöllä. Näihin tarkoituksiin on tapana käyttää binääri-oktaali- tai binääri-heksadesimaalijärjestelmiä.
Luvun binääri- ja heksadesimaaliesitysten välillä on yksinkertainen suhde. Käännettäessä lukua järjestelmästä toiseen, yksi heksadesimaaliluku vastaa nelinumeroista binaarikoodia. Tämä vastaavuus näkyy binääri-heksadesimaalitaulukossa:
Binäärinen heksadesimaalitaulukko
Tällainen suhde perustuu siihen, että 16 = 2 4 ja numeroiden 0 ja 1 eri nelinumeroisten yhdistelmien lukumäärä on 16: 0000:sta 1111:een. lukujen muuntaminen heksadesimaaliluvusta binäärimuotoon ja päinvastoin suoritetaan muodollisella muunnolla binääri-heksadesimaalitaulukon mukaisesti.
Tässä on esimerkki 32-bittisen binäärikoodin kääntämisestä heksadesimaalijärjestelmäksi:
1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A
Jos sisäisestä tiedosta annetaan heksadesimaaliesitys, se on helppo kääntää binäärikoodiksi. Heksadesimaaliesityksen etuna on, että se on 4 kertaa lyhyempi kuin binääri. On toivottavaa, että opiskelijat opettelevat ulkoa binääri-heksadesimaalitaulukon. Silloin todellakin heille heksadesimaaliesitys vastaa binääriä.
Binäärioktaalissa jokainen oktaalinumero vastaa binäärinumeroiden kolmikkoa. Tämän järjestelmän avulla voit pienentää binaarikoodia 3 kertaa.
Avainsanat:
- merkintä
- määrä
- aakkoset
- paikkanumerojärjestelmä
- pohja
- numeron laajennettu muoto
- taitettu numeron muoto
- binäärijärjestelmä
- oktaalilukujärjestelmä
- heksadesimaalilukujärjestelmä
1.1.1. Yleistä numerojärjestelmistä
Riisi. 1.1.
Merkit, joita käytetään numeroiden kirjoittamiseen erilaisia järjestelmiä laskeminen
Missä tahansa numerojärjestelmässä numeroita käytetään osoittamaan numeroita, joita kutsutaan solmuksi; loput luvut (algoritminen) saadaan minkä tahansa solmunumeroiden operaatioiden tuloksena.
Esimerkki 1. Babylonilaisten keskuudessa solmunumerot olivat 1, 10, 60; roomalaisessa numerojärjestelmässä solmunumerot ovat 1, 5, 10, 50, 100, 500 ja 1000, joita merkitään vastaavasti I, V, X, L, C, D, M.
Numerojärjestelmät eroavat toisistaan solmulukujen valinnassa ja tavoissa, joilla algoritmiluvut muodostetaan. Seuraavat numerojärjestelmien tyypit voidaan erottaa:
- yksipuoliset järjestelmät;
- ei-asemointijärjestelmät;
- asemajärjestelmät.
Yksinkertaisin ja vanhin järjestelmä on niin kutsuttu unaarilukujärjestelmä. Se käyttää vain yhtä symbolia minkä tahansa numeron kirjoittamiseen - sauva, solmu, lovi, kivi. Numerotietueen pituus tässä koodauksessa on suoraan verrannollinen sen arvoon, minkä vuoksi tämä menetelmä liittyy numeroiden geometriseen esitykseen segmenttien muodossa. Yksinäinen järjestelmä on aritmeettisen perusta, ja se johdattaa edelleen ekaluokkalaiset laskennan maailmaan. Unaarijärjestelmiä kutsutaan myös tunnistejärjestelmiksi.
Ei-sijaintilukujärjestelmissä luvut muodostetaan lisäämällä solmunumeroita.
Esimerkki 2. Muinaisessa egyptiläisessä numerojärjestelmässä numerot 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 merkittiin vastaavasti seuraavasti:
Samat numerot roomalaisessa numerojärjestelmässä on merkitty seuraavasti: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Tässä algoritmiset luvut saadaan lisäämällä ja vähentämällä solmunumerot ottaen huomioon seuraava sääntö: jokainen pienempi merkki, joka on sijoitettu suuremman oikealle, lisätään arvoonsa ja jokainen pienempi merkki, joka on sijoitettu suuremman vasemmalle vähennetty siitä.
Esimerkki paikkalukujärjestelmästä on arkielämässä tottunut numeroiden merkitsemisen desimaalijärjestelmä, joka on meille tuttu lapsuudesta lähtien ja jossa teemme kaikki laskelmamme. Siinä algoritmiset numerot muodostetaan seuraavasti: numeroiden arvot kerrotaan vastaavien numeroiden "painoilla" ja kaikki tuloksena saadut arvot lisätään. Tämä näkyy selvästi venäjän kielen numeroissa, esimerkiksi: "kolmesataa viisi kymmenen seitsemän".
Paikkalukujärjestelmän kanta voi olla mikä tahansa luonnollinen luku q > 1.
Desimaalijärjestelmän aakkoset koostuvat luvuista 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Satunnaisen paikkalukujärjestelmän, jonka kanta on q, aakkoset ovat luvut 0, 1, .. ., q-1, joista jokainen voidaan kirjoittaa yhdellä yksilöllisellä merkillä; alin numero on aina O.
Minkä tahansa paikkanumerojärjestelmän tärkeimmät edut ovat aritmeettisten operaatioiden suorittamisen helppous ja lukujen kirjoittamiseen tarvittavien merkkien rajallinen määrä.
a 1 - tämän numerojärjestelmän aakkosiin kuuluvat numerot;
q 1 - i:nnen luokan "paino".
Lukujen kirjoittamista kaavan (1) mukaan kutsutaan laajennetuksi kirjoitusmuodoksi. Numeron kirjoittamisen taitettu muoto on sen esitys muodossa ±a n-1 a n-2 ... a 1 a 0, a -1 ... a -m 1
- 1 Seuraavassa otetaan huomioon vain positiiviset kokonaisluvut.
Esimerkki 3 Tarkastellaan desimaalilukua 14351.1. Sen taitettu merkintämuoto on niin tuttu, että emme huomaa, kuinka mielessämme siirrymme laajennettuun merkintätapaan kertomalla luvun numerot numeroiden "painoilla" ja lisäämällä tuloksena olevat tulot:
1 10 4 + 4 10 3 + 3 10 2 + 5 10 1 + 1 10 0 + 1 10 -1 .
1.1.2. Binäärilukujärjestelmä
Binäärilukujärjestelmä on paikkalukujärjestelmä, jonka kanta on 2. Numeroiden kirjoittamiseen binäärilukujärjestelmään käytetään vain kahta numeroa: 0 ja 1.
Kokonaislukujen binäärilukujen kaavan (1) perusteella voimme kirjoittaa:
Esimerkiksi:
10011 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 2 4 + 2 1 + 2 0 = 19 10 .
Tämä merkintämuoto "ehdottaa" sääntöä luonnollisten binäärilukujen muuntamiseksi desimaalilukujärjestelmään: on tarpeen laskea kahden potenssien summa, jotka vastaavat yksiköitä binääriluvun taitetussa muodossa.
Kaavasta (1") saadaan sääntö kokonaislukujen desimaalilukujen muuttamiseksi binäärilukujärjestelmään.
Jaetaan
a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n-2 + ... + a 0 2 0 x 2.
Osamäärä tulee olemaan
a n-1 2 n-2 + ... + a 1 ,
ja loppuosa on 0.
Tuloksena oleva osamäärä jaetaan jälleen kahdella, jaon loppuosa on yhtä suuri kuin 1.
Jos jatkamme tätä jakoprosessia, niin n. vaihe saamme joukon numeroita:
a 0, a 1, a 2, ..., a n-1
jotka sisältyvät alkuperäisen luvun binääriesitykseen ja ovat yhtäpitäviä jäännösten kanssa, kun se jaetaan peräkkäin kahdella. Kun kirjoitetaan alkuperäistä lukua binäärilukujärjestelmään, on pidettävä mielessä, että saadaan 2:lla jakamisen jäännökset me käänteisessä järjestyksessä alkuperäisen luvun binääriesityksen vastaavien numeroiden suhteen.
Esimerkki 4. Muunnetaan desimaaliluku 11 binäärilukujärjestelmäksi. Yllä tarkasteltu toimintosarja (käännösalgoritmi) voidaan kuvata seuraavasti:
Kirjoittamalla jaon loppuosa nuolen osoittamaan suuntaan, saadaan: 11 10 = 1011 2 .
Esimerkki 5. Jos desimaaliluku on riittävän suuri, seuraava tapa kirjoittaa yllä oleva algoritmi on kätevämpi:
363 10 = 101101011 2
1.1.3. Oktaalilukujärjestelmä
Oktaalilukujärjestelmä on paikkalukujärjestelmä, jonka kantaluku on 8. Lukujen kirjoittamiseen oktaalilukujärjestelmään käytetään numeroita: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Kaavan (1) perusteella kokonaisluvun oktaaliluvulle voimme kirjoittaa:
Esimerkki: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10
Siksi, jos haluat muuntaa kokonaisluvun oktaaliluvun desimaalilukujärjestelmäksi, sinun tulee siirtyä sen laajennettuun merkintään ja laskea tuloksena olevan lausekkeen arvo.
Desimaalikokonaisluvun muuttamiseksi oktaalilukujärjestelmäksi tulee jakaa tämä luku ja tuloksena saadut kokonaislukuosamäärät peräkkäin 8:lla, kunnes saadaan osamäärä, joka on yhtä suuri kuin nolla. Alkuperäinen luku uudessa numerojärjestelmässä kootaan kirjaamalla peräkkäin tuloksena olevat jäämät, alkaen viimeisestä.
Esimerkki 6. Muunnetaan desimaaliluku 103 oktaalilukujärjestelmäksi.
1.1.4. Heksadesimaalilukujärjestelmä
Perus: q = 16.
Aakkoset: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Tässä vain kymmenellä numerolla kuudestatoista on yleisesti hyväksytty nimitys 0, ..., 9. Kirjoitettaessa numeroita desimaalien kvantitatiivisilla vastineilla 10, 11, 12, 13, 14, 15 latinalaisten aakkosten viisi ensimmäistä kirjainta ovat yleensä käytetty.
Näin ollen merkintä 3AF16 tarkoittaa:
3AF 16 = 3 16 2 + 10 16 1 + 15 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10 .
Esimerkki 7. Muunnetaan desimaaliluku 154 heksadesimaalilukujärjestelmäksi.
1.1.5. Sääntö kokonaislukujen desimaalilukujen muuntamisesta lukujärjestelmäksi, jonka kantaluku on q
Muuntaaksesi kokonaisen desimaaliluvun lukujärjestelmäksi, jossa on kantaluku q, toimi seuraavasti:
- jaa peräkkäin annettu luku ja tuloksena saadut kokonaislukuosamäärät uuden lukujärjestelmän perusteella, kunnes saamme osamäärän yhtä suureksi kuin nolla;
- tuloksena olevat jäännökset, jotka ovat luvun numeroita uudessa numerojärjestelmässä, saatetaan linjaan uuden numerojärjestelmän aakkosten kanssa;
- kirjoita numero uudessa numerojärjestelmässä, kirjoita se muistiin alkaen viimeisestä vastaanotetusta jäännöksestä.
Tehdään vastaavuustaulukko desimaali-, binääri-, oktaali- ja heksadesimaaliluvut 0-20.
Unified Collection of Digital Educational Resources (http://school-collection.edu.ru/) sisältää interaktiivisen animaation "Desimaaliluvun muuntaminen toiseen numerojärjestelmään". Sen avulla voit tarkkailla mielivaltaisen kokonaisluvun 0 - 512 käännöstä paikkalukujärjestelmäksi, jonka kantaluku ei ylitä 16:ta.
Siellä sijaitsevassa Digital Scales -virtuaalilaboratoriossa voit oppia toisen tavan kääntää kokonaisia desimaalilukuja muihin lukujärjestelmiin - erotusmenetelmän.
1.1.6. Binääriaritmetiikka
Binääriaritmetiikka perustuu seuraavien yhteen- ja kertolaskutaulukoiden käyttöön:
Esimerkki 8. Binäärilisäystaulukko on erittäin yksinkertainen. Koska 1 + 1 = 10, 0 pysyy tässä bitissä ja 1 siirretään seuraavaan bittiin.
Esimerkki 9. Kertolasku suoritetaan tavanomaisen desimaalilukujärjestelmässä käytetyn kaavion mukaisesti kertojan peräkkäisellä kertoimella kertoimen seuraavalla numerolla.
Siten binäärijärjestelmässä kertolasku pelkistyy kertojan ja yhteenlaskujen siirroiksi.
1.1.7. "Tietokone" numerojärjestelmät
SISÄÄN tietokone teknologia käytetään binäärilukujärjestelmää, joka tarjoaa useita etuja muihin järjestelmiin verrattuna:
- binääriluvut esitetään tietokoneessa käyttämällä melko yksinkertaisia teknisiä elementtejä, joissa on kaksi vakaata tilaa;
- tiedon esittäminen vain kahden tilan avulla on luotettavaa ja melua kestävää;
- binääriaritmetiikka on yksinkertaisin;
- on matemaattinen laite, joka tarjoaa binääritiedon loogisia muunnoksia.
Tiedonvaihto välillä tietokonelaitteet suoritetaan lähettämällä binäärikoodeja. Henkilölle on hankalaa käyttää tällaisia koodeja niiden suuren pituuden ja visuaalisen yhtenäisyyden vuoksi. Siksi asiantuntijat (ohjelmoijat, insinöörit) joissakin laskentajärjestelmien kehitys-, luomis- ja konfigurointivaiheissa korvaavat binäärikoodit vastaavilla arvoilla oktaali- tai heksadesimaalilukujärjestelmissä. Tämän seurauksena alkuperäisen sanan pituus lyhenee vastaavasti kolme, neljä kertaa. Tämä helpottaa tietojen tarkastelua ja analysointia.
Resurssin "Interaktiivinen ongelmakirja, osio "Numerojärjestelmät"" (http://school-collection.edu.ru/) avulla voit tarkistaa, kuinka hyvin olet oppinut tässä kappaleessa tutkitun materiaalin.
Tärkein
Numerojärjestelmä on merkkijärjestelmä, jossa hyväksytään tietyt numeroiden kirjoittamista koskevat säännöt. Merkkejä, joilla numeroita kirjoitetaan, kutsutaan numeroiksi, ja niiden kokonaisuutta kutsutaan numerojärjestelmän aakkosiksi.
Lukujärjestelmää kutsutaan paikannusjärjestelmäksi, jos luvun numeron kvantitatiivinen ekvivalentti riippuu sen sijainnista luvun merkinnöissä. Paikkalukujärjestelmän kanta on yhtä suuri kuin sen aakkosten muodostavien numeroiden lukumäärä.
Paikkalukujärjestelmän kanta voi olla mikä tahansa luonnollinen luku q > 1.
Paikkalukujärjestelmässä, jossa on kantaluku q, mikä tahansa luku voidaan esittää seuraavasti:
A on luku;
q on lukujärjestelmän kanta;
ja i - tietyn numerojärjestelmän aakkostoon kuuluvat numerot;
n on luvun kokonaislukujen lukumäärä;
m - luvun murto-osien lukumäärä;
q i - i:nnen luokan "paino".
Kysymyksiä ja tehtäviä
