Tällä oppitunnilla käymme läpi käsittelemämme teorian ja jatkamme tyypillisten suoran ja tason kohtisuorassa olevien ongelmien ratkaisemista.
Toistetaan ensin suoran ja tason kohtisuoran lausekoe. Ja edelleen ratkaisemme ongelmia käyttämällä tätä ominaisuutta.

Aihe: Viivojen ja tasojen kohtisuoraisuus

Oppitunti: Teorian toisto ja tyypillisten ongelmien ratkaiseminen

suoran ja tason kohtisuora (jatkuu)

Tällä oppitunnilla käymme läpi käsittelemämme teorian ja jatkamme tyypillisten ongelmien ratkaiseminen suoran ja tason kohtisuorassa.

Jos suora on kohtisuorassa kahteen tasossa olevaan leikkaavaan suoraan, niin se on kohtisuorassa tähän tasoon nähden.

Olkoon meille taso α. Tässä tasossa on kaksi suoraa viivaa s Ja q, risteämässä pisteessä NOIN(Kuva 1). Suoraan A kohtisuorassa suoraa linjaa vastaan s ja suoraan q. Kyltin mukaan suora A kohtisuorassa tasoon α nähden, toisin sanoen kohtisuoraan mihin tahansa tässä tasossa olevaan suoraan nähden.

3. Matematiikan ohjaajan verkkosivusto ()

1. Muotoile suoran ja tason välinen kohtisuora merkki.

2. Annettu ympyrä, jonka keskipiste on pisteessä NOIN. Suoraan MO kohtisuorassa ympyrän tasoon nähden. Todista, että linja MO kohtisuorassa mihin tahansa ympyrän säteeseen nähden.

3. Kolmiossa ABC korkeus piirretty CH. Suoraan MA kohtisuorassa tasoon nähden ABC. Onko viiva kohtisuorassa? CH kone AMV?

4. Suora MA kohtisuorassa neliön tasoon nähden ABCD. Etsi segmenttien pituus NEITI,M.B., M.D., jos neliön sivu on yhtä suuri a, AM = b.

Merkkejä kohtisuorasta:

Suora viiva on kohtisuorassa tasoon nähden , jos ______________________________________________

Viivat ovat kohtisuorassa , Jos _______________________________________________________

Tasot ovat kohtisuorassa , Jos ________________________________________________________

_______________________________________________________________________________.

Tehtävä 1. Muodosta pallo, jonka keskipiste on pisteessä A, joka on tietyn tason tangentti.

Algoritmi:

Tehtävä 2. Muodosta piste 20 mm:n etäisyydelle tasosta.

Algoritmi:

Tehtävä 3. Määritä pisteen ja suoran välinen etäisyys.

Algoritmi:

Tehtävä 4: Täydennä puuttuva kolmion projektio, jos kulma SISÄÄN suoraan.

Algoritmi:

Ongelma 5 : Muodosta neliö, jonka sivu on BC suoralle viivalle l.

Algoritmi:

Ongelma 6 : Täydennä kolmion projektio, jos se on kohtisuorassa annettuun tasoon nähden.

Algoritmi:

Kysymyksiä tiedon itsetestaukseen

Missä tapauksessa suora kulma projisoidaan projektiotasolle ilman vääristymiä?

Mikä on suurimman kaltevuuden linjan nimi?

Missä on tason suurimman kaltevuuden viiva?

Kuinka määrittää tason kaltevuuskulma projektioiden vaaka-, etu-, profiilitasoon nähden?

Miten suoran ja tason kohtisuoran merkki muotoillaan alkeisgeometrian näkökulmasta?

Jos suora on selvästi kohtisuorassa tasoon nähden, kuinka monta tasossa olevaa suoraa voidaan vetää kohtisuoraan siihen nähden?

Mitkä kaksi tason leikkaavaa suoraa on valittava suorien joukosta, jotta niiden ja tietyn suoran välissä oleva suora kulma projisoidaan projektiotasolle ilman vääristymiä?

Muotoile tämän perusteella suoran ja tason kohtisuora merkki kuvaavan geometrian näkökulmasta.

Kuinka rakentaa kohtisuora yleistasoon nähden CN:lle?

Kuinka rakentaa suora, joka on kohtisuorassa CC:n ulkonevaa tasoa vastaan?

Kuinka leikkaussuora kulma voidaan projisoida projektiotasolle, jos mikään niistä ei ole yhdensuuntainen tämän projektiotason kanssa?

Muotoile testi viivojen kohtisuoralle yleisessä sijainnissa.

Muotoile tasojen kohtisuoran merkki.

Aihe 11: Menetelmä projektiotasojen korvaamiseen

Kuvailevan geometrian neljä päätehtävää:

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

CC:ssä pysyy ennallaan ________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Tässä artikkelissa puhumme suoran ja tason kohtisuorasta. Ensin annetaan tasoon nähden kohtisuoran suoran määritelmä, esitetään graafinen kuva ja esimerkki sekä esitetään tasoon nähden kohtisuorassa olevan suoran merkintä. Tämän jälkeen muotoillaan suoran ja tason kohtisuoran merkki. Seuraavaksi saadaan ehdot, jotka mahdollistavat suoran ja tason kohtisuoran osoittamisen, kun suora ja taso määritellään tietyillä yhtälöillä suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä kolmiulotteisessa avaruudessa. Lopuksi esitetään yksityiskohtaiset ratkaisut tyypillisiin esimerkkeihin ja ongelmiin.

Sivulla navigointi.

Kohtisuora suora ja taso - perustiedot.

Suosittelemme, että toistat ensin kohtisuorien viivojen määrittelyn, koska tasoon nähden kohtisuoran suoran määritelmä annetaan suorien kohtisuoran kautta.

Määritelmä.

He sanovat että viiva on kohtisuorassa tasoon nähden, jos se on kohtisuorassa mihin tahansa tässä tasossa olevaan suoraan nähden.

Voimme myös sanoa, että taso on kohtisuorassa suoraa vastaan ​​tai suora ja taso ovat kohtisuorassa.

Voit osoittaa kohtisuoran käyttämällä kuvaketta, kuten "". Eli jos suora c on kohtisuorassa tasoon nähden, voimme kirjoittaa lyhyesti .

Esimerkki tasoon nähden kohtisuorasta suorasta on viiva, jota pitkin huoneen kaksi vierekkäistä seinää leikkaavat. Tämä viiva on kohtisuorassa tasoon ja katon tasoon nähden. Kuntosalissa olevaa köyttä voidaan pitää myös suorana janana, joka on kohtisuorassa lattian tasoon nähden.

Tämän artikkelin kappaleen lopuksi huomautamme, että jos suora on kohtisuorassa tasoon nähden, suoran ja tason välisen kulman katsotaan olevan yhdeksänkymmentä astetta.

Suoran ja tason kohtisuora - merkki ja kohtisuoran ehdot.

Käytännössä herää usein kysymys: "Ovatko annettu suora ja taso kohtisuorassa?" Vastaus tähän on olemassa riittävä ehto suoran ja tason kohtisuoralle, eli sellainen ehto, jonka täyttyminen takaa suoran ja tason kohtisuoran. Tätä riittävää ehtoa kutsutaan suoran ja tason kohtisuoraksi. Muotoilkaamme se lauseen muodossa.

Lause.

Jotta tietty suora ja taso ovat kohtisuorassa, riittää, että suora on kohtisuorassa kahta tässä tasossa olevaa leikkaavaa suoraa vastaan.

Suoran ja tason kohtisuoran merkin todistusta voit katsoa luokkien 10-11 geometrian oppikirjasta.

Kun ratkaistaan ​​suoran ja tason kohtisuoran määrittämisongelmia, käytetään usein myös seuraavaa lausetta.

Lause.

Jos toinen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta on kohtisuorassa tasoon nähden, niin toinen suora on myös kohtisuorassa tasoon nähden.

Koulussa pohditaan monia tehtäviä, joiden ratkaisemiseen käytetään suoran ja tason kohtisuoran etumerkkiä sekä viimeistä lausetta. Emme käsittele niitä tässä. Tässä artikkelin osiossa keskitymme seuraavan välttämättömän ja riittävän ehdon soveltamiseen suoran ja tason kohtisuoralle.

Tämä ehto voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavaan muotoon.

Antaa on suoran a suuntavektori ja on tason normaalivektori. Jotta suora a ja taso ovat kohtisuorassa, se on välttämätöntä ja riittävää Ja : , jossa t on jokin reaaliluku.

Tämän suoran ja tason kohtisuoralle välttämättömän ja riittävän ehdon todistus perustuu suoran suuntavektorin ja tason normaalivektorin määritelmiin.

Ilmeisesti tätä ehtoa on kätevä käyttää suoran ja tason kohtisuoran todistamiseen, kun suoran suuntavektorin koordinaatit ja tason normaalivektorin koordinaatit kiinteässä kolmiulotteisessa avaruudessa on helposti löydettävissä. . Tämä pätee tapauksiin, joissa on annettu niiden pisteiden koordinaatit, joiden kautta taso ja suora kulkevat, sekä tapauksia, joissa suora määräytyy joidenkin avaruudessa olevan suoran yhtälöiden avulla ja taso on annettu yhtälöllä jonkinlainen lentokone.

Katsotaanpa useiden esimerkkien ratkaisuja.

Esimerkki.

Todista suoran kohtisuora ja lentokoneita.

Ratkaisu.

Tiedämme, että avaruuden suoran kanonisten yhtälöiden nimittäjissä olevat luvut ovat tämän suoran suuntavektorin vastaavia koordinaatteja. Täten, - suora vektori .

Tason yleisen yhtälön muuttujien x, y ja z kertoimet ovat tämän tason normaalivektorin koordinaatit, eli on tason normaalivektori.

Tarkastetaan suoran ja tason kohtisuoralle välttämättömän ja riittävän ehdon täyttyminen.

Koska , sitten vektorit ja ovat suhteessa toisiinsa , eli ne ovat kollineaarisia. Siis suoraan kohtisuorassa tasoon nähden.

Esimerkki.

Ovatko viivat kohtisuorassa? ja lentokone.

Ratkaisu.

Etsitään tietyn suoran suuntavektori ja tason normaalivektori, jotta voidaan tarkistaa, täyttyykö suoran ja tason kohtisuoralle välttämätön ja riittävä ehto.

Ohjausvektori on suora On

Geometria. Tehtäviä ja harjoituksia valmiista piirustuksista. 10-11 luokkaa. Rabinovich E.M.

M.: 2014. - 80 s.

Käsikirja on koottu taulukkomuotoon ja sisältää yli 350 tehtävää. Kunkin taulukon tehtävät vastaavat tiettyä aihetta koulun geometriakurssilla luokille 10-11 ja ne sijaitsevat taulukon sisällä monimutkaisemmassa järjestyksessä.

Lukion matematiikan opettaja tietää hyvin, kuinka vaikeaa on opettaa opiskelijoita tekemään visuaalisia ja oikeita piirustuksia stereometrisiin ongelmiin.

Tilallisen mielikuvituksen puutteen vuoksi stereometrinen tehtävä, jota varten sinun on tehtävä piirustus itse, tulee opiskelijalle usein ylivoimaiseksi.

Siksi valmiiden piirustusten käyttö stereometrisiin ongelmiin lisää merkittävästi oppitunnilla käsitellyn materiaalin määrää ja lisää sen tehokkuutta.

Ehdotettu käsikirja on ylimääräinen geometriaongelmien kokoelma yleissivistävän koulun 10-11 luokkien opiskelijoille, ja se keskittyy oppikirjaan, jonka on kirjoittanut A.V. Pogorelov "Geometria 7-11". Se on jatkoa samanlaiselle 7-9-luokkien opiskelijoille tarkoitetulle käsikirjalle.

Muoto: pdf(2014, 80 s.)

Koko: 1,2 Mt

Katso, lataa:drive.google ; Rghost

Muoto: djvu(2006, 80 s.)

Koko: 1,3 Mt

Ladata: drive.google

Sisällysluettelo
Esipuhe 3
Planimetriakurssin toisto 5
Taulukko 1. Kolmioiden ratkaiseminen 5
Taulukko 2. Kolmion 6 pinta-ala
Taulukko 3. Nelikulman 7 pinta-ala
Taulukko 4. Nelikulman 8 pinta-ala
Stereometria. 10 luokka 9
Taulukko 10.1. Stereometrian aksioomit ja niiden yksinkertaisimmat seuraukset... 9
Taulukko 10.2. Stereometrian aksioomat ja niiden yksinkertaisimmat seuraukset. 10
Taulukko 10.3. Viivojen rinnakkaisuus avaruudessa. Linjojen ylitys 11
Taulukko 10.4. Viivojen ja tasojen rinnakkaisuus 12
Taulukko 10.5. Yhdensuuntaisten tasojen merkki 13
Taulukko 10.6. Yhdensuuntaisten tasojen ominaisuudet 14
Taulukko 10.7. Kuva tilahahmoista tasossa 15
Taulukko 10.8. Kuva tilahahmoista tasossa 16
Taulukko 10.9. Suoran ja tason kohtisuora 17
Taulukko 10.10. Suoran ja tason kohtisuora 18
Taulukko 10.11. Pystysuorassa ja vinossa 19
Taulukko 10.12. Pystysuorassa ja vinossa 20
Taulukko 10.13. Kolmen kohtisuoran lause 21
Taulukko 10.14. Kolmen kohtisuoran lause 22
Taulukko 10.15. Kolmen kohtisuoran lause 23
Taulukko 10.16. Tasojen kohtisuora 24
Taulukko 10.17. Tasojen kohtisuora 25
Taulukko 10.18. Risteyslinjojen välinen etäisyys 26
Taulukko 10.19. Suorakulmaiset koordinaatit avaruudessa 27
Taulukko 10.20. Ristikkäisten viivojen välinen kulma 28
Taulukko 10.21. Suoran ja tason välinen kulma 29
Taulukko 10.22. Tasojen välinen kulma 30
Taulukko 10.23. Monikulmion ortogonaalisen projektion alue 31
Taulukko 10.24. Vektorit avaruudessa 32
Stereometria. 11 luokka 33
Taulukko 11.1. Dihedraalinen kulma. Kolmiokulma 33
Taulukko 11.2. Suora prisma 34
Taulukko 11.3. Oikea prisma 35
Taulukko 11.4. Oikea prisma 36
Taulukko 11.5. Kalteva prisma 37
Taulukko 11.6. Rinnakkaisputki 38
Taulukko 11.7. Prisman osien rakentaminen 39
Taulukko 11.8. Tavallinen pyramidi 40
Taulukko 11.9. Pyramidi 41
Taulukko 11.10. Pyramidi 42
Taulukko 11.11. Pyramidi. Katkaistu pyramidi 43
Taulukko 11.12. Pyramidin osien rakentaminen 44
Taulukko 11.13. Sylinteri 45
Taulukko 11.14. Kartio 46
Taulukko 11.15. Kartio. Katkaistu kartio 47
Taulukko 11.16. Pallo 48
Taulukko 11.17. Kaiverrettu ja rajattu pallo 49
Taulukko 11.18. Suuntaissärmiön tilavuus 50
Taulukko 11.19. Prisman tilavuus 51
Taulukko 11.20. Pyramidin tilavuus 52
Taulukko 11.21. Pyramidin tilavuus 53
Taulukko 11.22. Pyramidin tilavuus. Katkaistun pyramidin tilavuus 54
Taulukko 11.23. Sylinterin tilavuus ja sivupinta-ala..55
Taulukko 11.24. Kartion tilavuus ja sivupinta-ala 56
Taulukko 11.25. Kartion tilavuus. Katkaistun kartion tilavuus. Kartion sivupinnan pinta-ala. Katkaistun kartion sivupinta-ala 57
Taulukko 11.26. Pallon tilavuus. Pallon pinta-ala 58
Vastaukset, ohjeet, ratkaisut 59

Tehtävät ja harjoitukset valmiista piirustuksista, luokat 10-11, Geometria, Rabinovich E. M., 2006.

Sisällysluettelo
Esipuhe.
Planimetrian kurssin toisto.
Taulukko 1. Kolmioiden ratkaiseminen.
Taulukko 2. Kolmion pinta-ala.
Taulukko 3. Nelikulman pinta-ala.
Taulukko 4. Nelikulman pinta-ala. Stereometria. Luokka 10.
Taulukko 10.1. Stereometrian aksioomat ja niiden yksinkertaisimmat seuraukset.
Taulukko 10.2. Stereometrian aksioomat ja niiden yksinkertaisimmat seuraukset.
Taulukko 10.3. Viivojen rinnakkaisuus avaruudessa. Suorien linjojen ylittäminen.
Taulukko 10.4. Suorien viivojen ja tasojen rinnakkaisuus.
Taulukko 10.5. Merkki yhdensuuntaisista tasoista.
Taulukko 10.6. Yhdensuuntaisten tasojen ominaisuudet.
Taulukko 10.7. Kuva tilahahmoista tasossa
Taulukko 10.8. Kuva tilahahmoista tasossa
Taulukko 10.9. Suoran ja tason kohtisuora.
Taulukko 10.10. Suoran ja tason kohtisuora.
Taulukko 10.11. Pystysuora ja vino.
Taulukko 10.12. Pystysuora ja vino.
Taulukko 10.13. Kolmen kohtisuoran lause.
Taulukko 10.14. Kolmen kohtisuoran lause.
Taulukko 10.15. Kolmen kohtisuoran lause.
Taulukko 10.16. Tasojen kohtisuoraisuus.
Taulukko 10.17. Tasojen kohtisuoraisuus.
Taulukko 10.18. Leikkaavien viivojen välinen etäisyys.
Taulukko 10.19. Suorakulmaiset koordinaatit avaruudessa.
Taulukko 10.20. Leikkaavien viivojen välinen kulma.
Taulukko 10.21. Suoran ja tason välinen kulma.
Taulukko 10.22. Tasojen välinen kulma.
Taulukko 10.23. Monikulmion ortogonaalisen projektion alue
Taulukko 10.24. Vektorit avaruudessa Stereometria. Luokka 11.
Taulukko 11.1. Dihedraalinen kulma. Kolmion muotoinen kulma.
Taulukko 11.2. Suora prisma.
Taulukko 11.3. Oikea prisma.
Taulukko 11.4. Oikea prisma.
Taulukko 11.5. Vino prisma.
Taulukko 11.6. Suuntaissärmiö.
Taulukko 11.7. Prismaprofiilien rakentaminen.
Taulukko 11.8. Oikea pyramidi.
Taulukko 11.9. Pyramidi.
Taulukko 11.10. Pyramidi.
Taulukko 11.11. Pyramidi. Katkaistu pyramidi.
Taulukko 11.12. Pyramidin poikkileikkauksen rakentaminen.
Taulukko 11.13. Sylinteri.
Taulukko 11.14. Kartio.
Taulukko 11.15. Kohuc. Katkaistu kohyc.
Taulukko 11.16. Pallo.
Taulukko 11.17. Piirretty ja rajattu pallo.
Taulukko 11.18. Suuntaissärmiön tilavuus.
Taulukko 11.19. Prisman tilavuus.
Taulukko 11.20. Pyramidin tilavuus.
Taulukko 11.21. Pyramidin tilavuus.
Taulukko 11.22. Pyramidin tilavuus. Katkaistun pyramidin tilavuus.
Taulukko 11.23. Sylinterin tilavuus ja sivupinta-ala.
Taulukko 11.24. Kartion tilavuus ja sivupinta-ala.
Taulukko 11.25. Kartion tilavuus. Katkaistun kartion tilavuus. Kartion sivupinnan pinta-ala. Katkaistun kartion sivupinta-ala.
Taulukko 11.26. Pallon tilavuus. Pallon pinta-ala. Vastauksia, ohjeita, ratkaisuja

Lataa e-kirja ilmaiseksi kätevässä muodossa, katso ja lue:
Lataa kirja Tehtäviä ja harjoituksia valmiisiin piirustuksiin, luokat 10-11, Geometry, Rabinovich E. M., 2006 - fileskachat.com, nopea ja ilmainen lataus.

Lataa pdf
Voit ostaa tämän kirjan alta paras hinta alennuksella toimituksella koko Venäjälle.