Материальные и информационные модели. Примеры информационных моделей в школе Примеры графических моделей в повседневной жизни

Информационная модель – модель объекта, представленная в виде информации, описывающей существенные для данного рассмотрения параметры и переменные величины объекта, связи между ними, входы и выходы объекта, и позволяющая путем подачи на модель информации об изменениях входных величин моделировать возможные состояния объекта.

Информационные модели нельзя потрогать или увидеть, она не имеют материального воплощения, потому что строятся только на информации. Информационная модель – совокупность информации, характеризующая существенные свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром.

Информационная модель – формальная модель ограниченного набора фактов, понятий или инструкций, предназначенная для удовлетворения конкретному требованию.

Для построения информационной модели необходимо пройти ряд стадий, представленных на схеме 3. Процесс, проводимый от «объекта познания» жл «формальной конструкции», носит название «формализация», а обратный процесс – «интерпретация» - чаще всего используется в познании мира и обучении.

В основе информационного моделирования лежат три постулата:

все состоит из элементов;

элементы имеют свойства;

элементы связаны между собой отношениями.

Объект, к которому применимы эти постулаты, может быть представлен информационной моделью.

Стадии построения информационной модели.

Ф Объект познания И

О Познающие субъекты Н

Р Личностное представление Т

М Сформировавшаяся мысль Е

А «Живое» слово Р

Л Записанное слово П

И Научный текст Р

З Формальные конструкции Е

Классификации информационных моделей:

-по способу описания:

С помощью формальных языков (язык математики, таблицы, языки программирования, расширение естественного языка человека и т.д.);

Графические (блок-схемы, диаграммы, графики и т.д.).

-по цели создания:

Классификационное (древовидные, генеалогическое дерево, дерево каталогов в компьютере);

Динамические (как правило, строятся на основе решения дифференциальных уравнений и служат для решения задач управления и прогнозирования).

- по природе моделируемого объекта:

Детерминированные (определенные), для которых известны законы, по которым изменяется или развивается объект;

Вероятностные (обработка статистической неопределенности и некоторых видов нечеткой информации).

Историческое происхождение и методологическое значение понятий модели и аналогии.

Слово «модель» произошло от латинского слова «modulus», означает «мера», «образец». Его первоначальное значение было связано со строительным искусством, и почти во всех европейских языках оно употреблялось для обозначения образа или прообраза, или вещи, сходной в каком-то отношении с другой вещью.

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ век. Однако методология моделирования долгое время развивалась отдельными науками независимо друг от друга. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. В этом разделе мы будем рассматривать только такие модели, которые являются инструментами получения знаний.

Таким образом,модель – упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении. Модель – это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.Моделирование – построение моделей для исследования и изучения объектов, процессов, явлений.

Модели объектов должны отражать нечто реально существующее. Поэтому часто под моделями объектов понимают абстрактное обобщение реально существующих объектов. Например, моделями объектов могут быть копии архитектурных сооружений, Солнечной системы, структура парламентской власти в стране и т.д. Модель может описывать явления живой и неживой природы, причем не одно, а целый класс явлений с общими свойствами. В моделях объектов или явлений отражаются свойства оригинала – его характеристики, параметры.

Можно также создавать модели процессов, т.е. моделировать действия над материальными объектами: ход, последовательную смену состояний, стадий развития одного объекта или их системы. Примеры тому общеизвестны: это модели экономических или экологических процессов, развития Вселенной или общества и т. п.

Методологическая основа моделирования .

В основе теории моделирования лежит системный подход. Системный подход заключается в том, что исследователь пытается изучать поведение системы в целом, а не концентрировать свое внимание на отдельных ее частях. Такой подход основывается на признании того, что если даже каждый элемент или подсистема имеет оптимальные конструктивные или функциональные характеристики, то результирующее поведение системы в целом может оказаться лишь субоптимальным вследствие взаимодействия между ее отдельными частями.

Возрастающая сложность организационных систем и потребность преодолеть эту сложность привели к тому, что системный подход становится все более и более необходимым методом исследования.

Определенная совокупность элементов рассматриваемой системы может представляться как ее подсистема. Считается, что к подсистемам относят некоторые самостоятельно функционирующие части системы. Поэтому для упрощения процедуры исследования первоначально необходимо грамотно выделить подсистемы сложной системы, то есть – определить ее структуру. Структура системы – это устойчивая во времени совокупность взаимосвязей между ее компонентами (подсистемами). И при системном подходе важным этапом является определение структуры изучаемой, описываемой системы.

Система – целое, составленное из частей. Система – множество элементов находящихся в отношениях и связях друг с другом и образующих определенное целостность и единство.

Компьютерная модель.

Компьютерная модель – модель, реализованная средствами программной среды.

Имея дело с компьютером как с инструментом, нужно помнить, что он работает с информацией. Поэтому следует исходить из того, какую информацию и в каком виде может воспринимать и обрабатывать компьютер. Современный компьютер способен работать со звуком, видеоизображением, анимацией, текстом, схемами, таблицами и т.д. Но для использования всего многообразия информации необходимо как техническое (Hardware), так и программное (Software) обеспечение. И то и другое – инструменты компьютерного моделирования. Сейчас имеется широкий круг программ, позволяющих создавать различные виды компьютерных знаковых моделей: текстовые процессоры, редакторы формул, электронные таблицы, системы управления в базах данных, профессиональные системы проектирования, а также различные среды программирования.

Современные ЭВМ представляют широкие возможности для моделирования различных явлений и процессов. В учебном процессе ЭВМ не должна просто заменять классную доску, плакат, кино- и диапроектор, натуральный эксперимент. Такая замена целесообразна только тогда, когда использование ЭВМ даст весомый дополнительный эффект по сравнению с использованием других средств обучения.

компьютерное моделирование (КМ) является перспективным методом активизации учебного процесса. Оно приобретает все большее и большее значение в современном научном познании, и, кроме того, в настоящее время становится популярным дидактическим средством. Рассмотрим это направление подробнее.

Предметом КМ является изучение процессов и явлений с помощью компьютера, который при этом выступает в роли экспериментальной установки. При использовании КМ для решения задач выделяются этапы постановки задачи, разработки модели, компьютерного (вычислительного) эксперимента, анализа результатов моделирования. Если результаты моделирования не соответствуют цели, то возникает необходимость возвращения на предыдущие этапы.

Математические модели.

Математическое моделирование позволяет при помощи математических символов и зависимостей составить описание происходящего процесса.

Математическая модель - это совокупность математических объектов и соотношений между ними, адекватно отображающая свойства и поведение исследуемого объекта. Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью. Точность оценивается степенью совпадения предсказанных в процессе вычислительного эксперимента на модели значений выходных параметров с истинными их значениями.

Математическая модель охватывает класс неопределяемых (абстрактных, символических) математических объектов таких, как числа или векторы, и отношения между этими объектами.

Математическое отношение – это гипотетическое правило, связывающее два или более символических объекта. Многие отношения могут быть описаны при помощи математических операций, связывающих один или несколько объектов с другим объектом или множеством объектов (результатом операции).

Математическая модель будет воспроизводить подходящим образом выбранные стороны физической ситуации, если можно установить правило соответствия, связывающее специфические физические объекты и отношения с определенными математическими объектами и отношениями. Поучительным и/или интересным может также быть и построение математических моделей, для которых в физическом мире аналогов не существует. Наиболее общеизвестными математическими моделями являются системы целых и действительных чисел и евклидова геометрия; определяющие свойства этих моделей представляют собой более или менее непосредственные абстракции физических процессов (счет, упорядочение, сравнение, измерение).

Объекты и операции более общих математических моделей часто ассоциируются с множествами действительных чисел, которые могут быть соотнесены с результатами физических измерений.

В качестве математических объектов выступают числа, переменные, множества, векторы, матрицы и т.п.

Классификация математических моделей на основе особенностей применяемого математического аппарата .

Проверка домашнего задания Приведите различные примеры графических информационных моделей. Приведите различные примеры графических информационных моделей. Графическая модель вашей квартиры. Что это: карта, схема, чертеж? Графическая модель вашей квартиры. Что это: карта, схема, чертеж? Какая форма графической модели (карта, схема, чертеж, график) применима для отображения процессов? Приведите примеры. Какая форма графической модели (карта, схема, чертеж, график) применима для отображения процессов? Приведите примеры.

Динамическое моделирование

Содержательная постановка задачи В процессе тренировок теннисистов используются автоматы по бросанию мячика в определенное место площадки. Необходимо задать автомату необходимую скорость и угол бросания мячика для попадания в площадку определенного размера, находящуюся на известном расстоянии.

Качественная описательная модель мячик мал по сравнению с Землей, поэтому его можно считать материальной точкой; мячик мал по сравнению с Землей, поэтому его можно считать материальной точкой; изменение высоты мячика мало, поэтому ускорение свободного падения можно считать постоянной величиной g=9,8 м/с 2 и движение по оси Y можно считать равноускоренным; изменение высоты мячика мало, поэтому ускорение свободного падения можно считать постоянной величиной g=9,8 м/с 2 и движение по оси Y можно считать равноускоренным; скорость бросания тела мала, поэтому сопротивлением воздуха можно пренебречь и движение по оси X можно считать равномерным. скорость бросания тела мала, поэтому сопротивлением воздуха можно пренебречь и движение по оси X можно считать равномерным.

Математическая модель x = v0· cosα·t y = v0· sinα· t – g· t 2 /2 v0· sinα· t – g· t 2 /2 = 0 t· (v0· sinα – g· t/2) = 0 v0· sinα – g· t/2 = 0 t = (2· v0· sinα)/g x = (v0· cosα· 2· v0·sinα)/g = (v0 2 · sin2α)/g S x S+L – «попадание» Если х S+L, то это означает "перелет".

Компьютерная модель на языке Паскаль Компьютерная модель на языке Паскаль program s1; uses graph; {подключение графического модуля} uses graph; {подключение графического модуля} var g, V0, A, t: real; var g, V0, A, t: real; gr, gm, S, L, x, i, y: integer; gr, gm, S, L, x, i, y: integer;

Компьютерная модель на языке Турбо Паскаль Компьютерная модель на языке Турбо Паскаль begin g:=9.8; g:=9.8; readln (v0, a, S, L); gr:=detect; initgraph(gr,gm,""); {вызов процедуры GRAPH} line(0,200,600,200);{чертим ось ох} line(0,0,0,600);{чертим ось оу} setcolor(3);{устанавливаем голубой цвет} line(S*10,200,(S+L)*10,200);{чертим площадку}
Компьютерная модель на языке Турбо Паскаль Компьютерная модель на языке Турбо Паскаль x:=round(v0*v0*sin(2*a*3.14/180)/g); if x S+L then outtextxy(500,100,"perelet") else outtextxy(500,100,"popal"); {записываем результат полёта} readln;closegraph;end.

модели

Разнообразие графических моделей достаточно велико. Рассмотрим некоторые из них.

Графы

Наглядным средством отображения состава и структуры систем являются графы. Рассмотрим пример. Имеется словесное описание некоторой местности.

Район состоит из пяти поселков: Дедкино, Репкино, Бабкино, Кошкино и Мышкино. Автомобильные дороги проложены между: Дедкино и Бабкино, Дедкино и Кошкино, Бабкино и Мышкино, Бабкино и Кошкино, Кошкино и Репкино.

По такому описанию довольно трудно представить себе эту местность. Гораздо легче та же информация воспринимается с помощью схемы. Это не карта местности. Здесь не выдержаны направления по сторонам света, не соблюден масштаб. На этой схеме отражен лишь факт существования пяти поселков и дорожной связи между ними. Такая схема, отображающая элементный состав системы и структуру связей, называется графом.

Составными частями графа являются вершины и ребра. На рисунке вершины отображены кружками – это элементы системы, а ребра изображены линиями – это связи (отношения) между элементами. Глядя на этот граф, легко понять структуру дорожной системы в данной местности.

Построенный граф позволяет, например, ответить на вопрос: через какие поселки надо проехать, чтобы добраться из Репкино в Мышкино? Видно, что есть два возможных пути: 1) Р - К - Б - М и 2) Р- К - Д - Б - М. Можно ли отсюда сделать вывод, что 1-й путь короче 2) –го? Нет, нельзя. Данный граф не содержит количественных характеристик. Это не карта, где соблюдается масштаб и есть возможность измерить расстояние.

Граф, приведенный на следующем рисунке, содержит количественные характеристики. Числа около ребер обозначают длины дорог в километрах. Это пример взвешенного графа. Взвешенный граф может содержать количественные характеристики не только связей, но и вершин. Например, в вершинах может быть указано население каждого поселка. Согласно данным взвешенного графа, оказывается, что второй путь длиннее первого.
Подобные графы еще называют сетью. Для сети характерна возможность множества различных путей перемещения по ребрам между некоторыми парами вершин. Для сетей также характерно наличие замкнутых путей, которые называются циклами. В данном случае имеется цикл: К-Д-Б-К

На рассмотренных схемах каждое ребро обозначает наличие дорожной связи между двумя пунктами. Но дорожная связь действует одинаково в обе стороны: если по дороге можно проехать от Б к М, то по ней же можно проехать и от М к Б (предполагаем, что действует двустороннее движение). Такие графы являются неориентированными, а их связи называются симметричными.

Качественно иной пример графа изображен на следующем рисунке.

Этот пример относится к медицине. Известно, что у разных людей кровь отличается по группе. Существуют четыре группы крови. Оказывается, что при переливании крови от одного человека к другому не все группы совместимы. Граф показывает возможные варианты переливания крови. Группы крови – это вершины графа с соответствующими номерами, а стрелки указывают на возможность переливания одной группы крови человеку с другой группой крови. Например, из этого графа видно, что кровь первой группы можно переливать любому человеку, а человек с первой группой крови воспринимает только кровь своей группы. Видно также, что человеку с IV группой крови можно переливать любую, но его собственную кровь можно переливать только в ту же группу.

Связи между вершинами данного графа несимметричны и поэтому изображаются направленными линиями со стрелками. Такие линии принято называть дугами (в отличие от ребер неориентированных графов). Граф с такими свойствами называется ориентированным. Линия, выходящая и входящая в одну и ту же вершину, называется петлей. В данном примере присутствуют четыре петли.

Дерево – граф иерархической структуры

Весьма распространенным типом систем являются системы с иерархической структурой. Иерархическая структура естественным образом возникает, когда объекты или некоторые их свойства находятся в отношении соподчинения (вложения, наследования). Как правило иерархическую структуру имеют системы административного управления, между элементами которых установлены отношения подчиненности (директор завода – начальники цехов – начальники участков – бригадиры - рабочие). Иерархическую структуру имеют также системы, между элементами которых существуют отношения вхождения одних в другие.

Граф иерархической структуры называется деревом. Основным свойством дерева является то, что между любыми двумя его вершинами существует единственный путь. Деревья не содержат циклов и петель.

Дерево административной структуры РФ

Посмотрите на граф, отражающий иерархическую административную структуру нашего государства: РФ делится на семь административных округов; округа делятся на регионы (области и национальные республики), в состав которых входят города и другие населенные пункты. Такой граф называется деревом.

У дерева существует одна главная вершина, которая называется корнем дерева. Эта вершина изображается вверху; от нее идут ветви дерева. От корня начинается отсчет уровней дерева. Вершины, непосредственно связанные с корнем, образуют первый уровень. От них идут связи к вершинам второго уровня и т.д. Каждая вершина дерева (кроме корня) имеет одну исходную вершину на предыдущем уровне и может иметь множество порожденных вершин на следующем уровне. Такой принцип связи называется “один ко многим”. Вершины, которые не имеют порожденных, называются листьями (на нашем графе это вершины, обозначающие города).

Графическое моделирование результатов научных исследований.

Общую цель научной графики можно сформулировать так: сделать невидимое и абстрактное “видимым”. Последнее слово заключено в кавычки, т.к. эта видимость часто весьма условна. Можно увидеть распределение температуры внутри неоднородно нагретого тела сложной формы без введения в него сотен микродатчиков, т.е. по существу его разрушения? – Да, можно, если есть соответствующая математическая модель и, что очень важно, договоренность о восприятии определенных условностей на рисунке. Можно увидеть распределение металлических руд под землей без раскопок? Строение поверхности чужой планеты по результатам радиолокации? Да, можно, с помощью компьютерной графики и предшествующей ей математической обработки.

Более того, можно “увидеть” и то, что, строго говоря, вообще плохо соответствует слову “видеть”. Так, возникшая на стыке химии и физики наука – квантовая химия – дает нам возможность “увидеть” строение молекулы. Эти изображения – верх абстракции и системы условностей, так как в атомном мире обычные наши понятия о частицах (ядрах, электронах и т.п.) принципиально неприменимы. Однако многоцветное “изображение” молекулы на экране компьютера для тех, кто понимает всю меру его условности, приносит большую пользу, чем тысячи чисел, являющихся результатами вычислений.

Изолинии.

Стандартный прием обработки результатов вычислительного эксперимента – построение линий (поверхностей), называемых изолиниями (изоповерхностями), вдоль которых некоторая функция имеет постоянное значение. Это очень распространенный прием визуализации характеристик некоторого скалярного поля в приближении сплошной среды: изотермы – линии равной температуры; изобары – линии равного давления; изолинии численности экологической популяции на местности и т.д.

Условные цвета, условное контрастирование

Это прием современной научной графики – условная раскраска. Она находит широчайшее применение в самых разных приложениях науки и представляет собой набор приемов по максимально удобной визуализации результатов компьютерного моделирования.

В различных исследованиях температурных полей встает проблема наглядного представления результатов, например, температур на метеорологических картах. Для этого можно рисовать изотермы на фоне карты местности. Но можно добиться еще большей наглядности, учитывая, что большинству людей свойственно воспринимать красный цвет как “горячий”, синий – как “холодный”. Переход по спектру от красного к синему отражает промежуточные значения температур. При поиске полезных ископаемых методами аэросъемки с самолетов или космических спутников компьютеры строят условные цветовые изображения распределений плотности под поверхностью Земли и т.д.

Изображения в условных цветах и контрастах – мощнейший прием научной графики.

Не следует путать изучение графического информационного моделирования с изучением технологий обработки графической информации
Построение простых графических моделей в форме графов и иерархических структур уместно в базовом курсе информатики.
Реализация моделей научной графики через программирование - материал повышенной трудности, практическая отработка которого уместна в профильном курсе информатики.

Задание :

Подобрать практические задания с решениями для базового и профильного курсов информатики.

Динамическое моделирование

4.8 Графические информационные модели.

Графическая информационная модель – это наглядный способ представления объектов и процессов в виде графических изображений. К ним относятся: чертежи, графики, диаграммы, образные модели, схемы (карты, графы, блок-схемы).

Графические (геометрические) информационные модели передают внешние признаки объекта - размеры, форму, цвет, расположение. В графических информационных моделях для наглядного отображения объектов используются условные графические изображения (образные элементы). Часто графические модели дополняются числами, символами и текстами (знаковыми элементами). В этом случае их называют смешанными моделями.

Образные модели представляют собой зрительные образы объектов, зафиксированные на каком-либо носителе информации (бумаге, фото- и кинопленке и др.). К ним относятся рисунки, фотографии.

Схема - это представление некоторого объекта в общих, главных чертах с помощью условных обозначений. Схема – это графическое отображение состава и структуры сложной системы. С помощью схем может быть представлен и внешний вид объекта, и его структура. Схема как информационная модель не претендует на полноту предоставления информации об объекте. С помощью особых приёмов и графических обозначений на ней более рельефно выделяется один или несколько признаков рассматриваемого объекта.

В информатике особое место занимает построение блок-схем. Блок-схемы наглядно отражают алгоритм, т.е. последовательность действий при решении задачи. Они строятся при программировании – создании новых программ.

Карта описывает конкретную местность, которая является для нее объектом моделирования. Это уменьшенное обобщённое изображение поверхности Земли на плоскости в той или иной системе условных обозначений.

Карта создается с определенными целями для определения:

местоположения населенных пунктов;
рельефа местности;
расположения автомагистралей;
измерения расстояний между реальными объектами на местности
и т.д.

Сейчас получили большое распространение геоинформационные модели (Например, http://maps.google.ru/ - спутниковая съемка карты местности).

Чертеж – точная геометрическая копия реального объекта. Чертёж - условное графическое изображение предмета с точным соотношением его размеров, получаемое методом проецирования. Чертёж содержит изображения, размерные числа, текст. Изображения дают представления о геометрической форме объекта, числа - о величине объекта и его частей, надписи - о названии, масштабе, в котором выполнены изображения. Чертежи создаются конструкторами, проектировщиками, они должны быть очень точным, т.к. на них указываются все необходимые размеры реального объекта. Существует масса различных компьютерных сред для создания конструкторских чертежей: Автокад, Адем, Компас, 3D MАХ - для трехмерного моделирования и т.д.

Графики и диаграммы - это информационные модели, которые в наглядной форме представляют числовые и статистические данные.

График - линия, дающая наглядное представление о характере зависимости одной величины (например, пути) от другой (например, времени). График – отображение и визуализация различных процессов (природных, экономических, общественных и технических). График позволяет отслеживать динамику изменения данных.

Диаграмма - графическое изображение, дающее наглядное представление о соотношении каких-либо величин или нескольких значений одной величины, об изменении их значений. Более подробно типы диаграмм и способы их построения будут рассмотрены при изучении электронных таблиц.

Отдельное место среди графических моделей занимают графы.

4.9 Графы
Графы – замечательные математические объекты, с их помощью можно решать очень много различных, внешне не похожих друг на друга задач. В математике существует целый раздел – теория графов , который изучает графы, их свойства и применение. В информатике по графам строятся программы. В этом параграфе рассмотрены только самые основные понятия, свойства графов и некоторые способы решения задач.

Если объекты некоторой системы изобразить точками (кругами, овалами, прямоугольниками…), а связи между ними - линиями (дугами, стрелками…), то мы получим информационную модель рассматриваемой системы в форме графа. Граф представляет собой набор вершин и соединяющих их ребер. Вершины графа могут быть обозначены буквами, числами, словами…

Если рёбра графа характеризуются некоторой дополнительной информацией (выраженной числами), его называют взвешенным , а числа - весами рёбер. Вес рёбер может соответствовать, например, расстоянию между объектами (городами).

Если ребра графа указывают направление (представлены стрелками), то граф называют ориентированным (орграфом). Движение в ориентированном графе возможно тольеко в одном направлении (по стрелкам). Связи между объектами – вершинами в таком случае считаются несимметричными. У неориентированного графа связи между объектами – вершинами симметричны.

Одинаковые, но по-разному нарисованные графы, называют изоморфными . У изоморфных графов соединены одни и те же вершины.

Степенью вершины графа называется количество выходящих из нее ребер. Вершина, имеющая четную степень, называется четной вершиной , Вершина, имеющая нечетную степень, называется нечетной вершиной. На рисунке вершины A, B, D – чётные. Их степень равна 2. Вершины С, Е – нечётные. Их степень равна 3.

С понятием степени вершины связана одна из основных теорем теории графов – теорема о чётности числа нечетных вершин.

Теорема : Любой граф содержит четное число нечетных вершин.

Для иллюстрации рассмотрим задачу.

В городе Маленьком 5 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с 3-мя другими?

Решение: Допустим, что такое соединение телефонов возможно. Тогда представим себе граф, в котором вершины обозначают телефоны, а ребра – провода, их соединяющие. Подсчитаем, сколько всего получится проводов. К каждому телефону подключено ровно 3 провода, т.е. степень каждой вершины нашего графа – 3. Чтобы найти число проводов, надо просуммировать степени всех вершин графа и полученный результат разделить на 2 (т.к. каждый провод имеет два конца и при суммировании степеней каждый провод взят 2 раза). (3*5)/2=15/2=7,5

Но это число не целое, то есть количество проводов получится разным. Значит наше предположение о том, что можно соединить каждый телефон ровно с пятью другими, оказалось неверным.

Ответ. Соединить телефоны таким образом невозможно.
Есть еще одно важное понятие, относящееся к графам – понятие связности. Граф называется связным , если любые две его вершины можно соединить путем , т.е. непрерывной последовательностью ребер. Существует целый ряд задач, решение которых основано на понятии связности графа. Граф на рисунке ниже имеет три компоненты связности (состоит из трёх отдельных частей).

Вершина, не имеющая рёбер, называется изолированной вершиной и составляет отдельную компоненту связности. Вершина, имеющая только одно ребро, называется концевой или висячей .

Путь по вершинам и рёбрам графа, в который любое ребро графа входит не более одного раза, называется цепью (1) . Цепь, начальная и конечная вершины которой совпадают, называется циклом (2). Дерево (иерархия ) – это граф, в котором нет циклов (3), т. е. в нём нельзя из некоторой вершины пройти по нескольким различным рёбрам и вернуться в ту же вершину. Отличительной особенностью дерева является то, что между любыми двумя его вершинами существует единственный путь.

(1)
(2)
(3)

Всякая иерархическая система может быть представлена с помощью дерева. У дерева выделяется одна главная вершина, называемая его корнем. Каждая вершина дерева (кроме корня) имеет только одного предка, обозначенный им объект входит в один класс1 высшего уровня. Любая вершина дерева может порождать несколько потомков - вершин, соответствующих классам нижнего уровня. Такой принцип связи называется «один-ко-многим». Вершины, не имеющие порождённых вершин, называются листьями.

Например, родственные связи между членами семьи удобно изображать с помощью графа, называемого генеалогическим или родословным деревом.

Граф с циклом называется сетью. Если героев некоторого литературного произведения представить вершинами графа, а существующие между ними связи изобразить рёбрами, то мы получим граф, называемый семантической сетью.

4.10 Использование графов при решении задач
Пример 1. Для того чтобы записать все трёхзначные числа, состоящие из цифр 1 и 2, можно воспользоваться графом (деревом)

Дерево можно не строить, если не требуется выписывать все возможные варианты, а нужно просто указать их количество. В этом случае рассуждать нужно так: в разряде сотен может быть любая из цифр 1 и 2, в разряде десятков - те же два варианта, в разряде единиц - те же два варианта. Следовательно, число различных вариантов: 2 2 2 = 8.

В общем случае, если известно количество возможных вариантов выбора на каждом шаге построения графа, то для вычисления общего количества вариантов нужно все эти числа перемножить.

Пример 2. Рассмотрим несколько видоизменённую классическую задачу о переправе.

На берегу реки стоит крестьянин (К) с лодкой, а рядом с ним - собака (С), лиса (Л) и гусь (Г). Крестьянин должен переправиться сам и перевезти собаку, лису и гуся на другой берег. Однако в лодку кроме крестьянина помещается либо только собака, либо только лиса, либо только гусь. Оставлять же собаку с лисой или лису с гусем без присмотра нельзя - собака представляет опасность для лисы, а лиса - для гуся. Как крестьянин должен организовать переправу?

Для решения этой задачи составим граф, вершинами которого будут исходное размещение персонажей на берегу реки, а также всевозможные промежуточные состояния, достигаемые из предыдущих за один шаг переправы. Каждую вершину-состояние переправы обозначим овалом и свяжем рёбрами с состояниями, образованными из неё. Недопустимые по условию задачи состояния выделены пунктирной линией; они исключаются из дальнейшего рассмотрения. Начальное и конечное состояния переправы выделены жирной линией.

На графе видно, что существует два решения этой задачи. Приведём соответствующий одному из них план переправы:

крестьянин перевозит лису;
крестьянин возвращается;
крестьянин перевозит собаку;
крестьянин возвращается с лисой;
крестьянин перевозит гуся;
крестьянин возвращается;
крестьянин перевозит лису.

Пример 3. Рассмотрим следующую игру: сначала в кучке лежит 5 спичек; два игрока убирают спички по очереди, причём за 1 ход можно убрать 1 или 2 спички; выигрывает тот, кто оставит в кучке спичку. Выясним, кто выигрывает при правильной игре - первый (I) или второй (II) игрок.

Игрок I может убрать одну спичку (в этом случае их останется 4) или сразу 2 (в этом случае их останется 3).

Если игрок I оставил 4 спички, игрок II может своим ходом оставить 3 или 2 спички. Если же после хода первого игрока осталось 3 спички, второй игрок может выиграть, взяв две спички и оставив одну.

Если после игрока II осталось 3 или 2 спички, то игрок I в каждой из этих ситуаций имеет шанс на выигрыш.

Таким образом, при правильной стратегии игры всегда выиграет первый игрок. Для этого своим первым ходом он должен взять одну спичку.

На рис. 2.8 представлен граф, называемый деревом игры; на нём отражены все возможные варианты, в том числе ошибочные (проигрышные) ходы игроков.

Контрольные вопросы.

Какие информационные модели относят к графическим?
Приведите примеры графических информационных моделей, с которыми вы имеете дело:

а) при изучении других предметов; б) в повседневной жизни.

Что такое граф? Что является вершинами и рёбрами графа? Укажите на собственном графе-примере.
Какой граф называют ориентированным? Взвешенным?
Какие графы называют изоморфными?
Что такое степень вершины? Укажите степени вершин в вашем графе.
Сформулируйте теорему о чётности числа нечетных вершин.
Какой граф называют связным? Изобразите граф с двумя компонентами связности.
Какую вершину называют изолированной? Висячей? Укажите на собственном примере – графе.
Что такое путь? Цепь? Цикл? Приведите примеры цепей и циклов, имеющихся в вашем графе.
Что такое дерево? Моделями каких систем могут служить деревья? Приведите пример такой системы.
Составьте семантическую сеть по русской народной сказке «Колобок».