Частота электромагнитных колебаний в колебательном контуре. Колебательный контур. Свободные, затухающие, вынужденные колебания в колебательном контуре. Формула Томсона. Декремент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность, резонанс в коле

Цепь, которая состоит из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C, включенных последовательно, называют колебательным контуром.

2. Почему сохраняется полная энергия электромагнитного поля в колебательном контуре?

Потому что она не расходуется на нагревание (R ≈ 0).

3. Объясните, почему в контуре возникают гармонические незатухающие колебания заряда и силы тока.

В начальный момент t = 0 между обкладками конденсатора образуется электрическое поле. В момент времени t = T/4 сила тока в контуре убывает, уменьшается магнитный поток в катушке. Конденсатор начинает перезаряжаться, и между его обкладок возникает электрическое поле, которое стремится уменьшить ток. В момент времени t = T/2 ток равен 0. Заряд на обкладках равен первоначальному по модулю, но противоположен по направлению. Потом все процессы начнут протекать в обратную сторону, и в момент t = T система вернется в первоначальное состояние. Далее цикл будет повторяться. В контуре при отсутствии потерь на нагревание проводов совершаются гармонические незатухающие колебания заряда на обкладках конденсатора и силы тока в катушках индуктивности.

4. По какому закону изменяют со временем заряд на конденсаторе и силу тока в катушке индуктивности?

По закону Ома для колебательного контура.

5. Как зависит период собственных колебаний в колебательном контуре от величины электроемкости конденсатора и индуктивности катушки?

Электромагнитное поле может существовать и в отсутствие электрических зарядов или токов: именно такие «самоподдерживающиеся» электрическое и магнитное поля представляют собой электромагнитные волны, к которым относятся видимый свет, инфракрасное, ультрафиолетовое и рентгеновское излучения, радиоволны и т. д.

§ 25. Колебательный контур

Простейшая система, в которой возможны собственные электромагнитные колебания, - это так называемый колебательный контур, состоящий из соединенных между собой конденсатора и катушки индуктивности (рис. 157). Как и у механического осциллятора, например массивного тела на упругой пружине, собственные колебания в контуре сопровождаются энергетическими превращениями.

Рис. 157. Колебательный контур

Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями. Для колебательного контура аналог потенциальной энергии механического осциллятора (например, упругой энергии деформированной пружины) - это энергия электрического поля в конденсаторе. Аналог кинетической энергии движущегося тела - энергия магнитного поля в катушке индуктивности. В самом деле, энергия пружины пропорциональна квадрату смещения из положения равновесия а энергия конденсатора пропорциональна квадрату заряда Кинетическая энергия тела пропорциональна квадрату его скорости а энергия магнитного поля в катушке пропорциональна квадрату силы тока

Полная механическая энергия пружинного осциллятора Е равна сумме потенциальной и кинетической энергий:

Энергия колебаний. Аналогично, полная электромагнитная энергия колебательного контура равна сумме энергий электрического поля в конденсаторе и магнитного поля в катушке:

Из сопоставления формул (1) и (2) следует, что аналогом жесткости к пружинного осциллятора в колебательном контуре служит величина обратная емкости конденсатора С, а аналогом массы - индуктивность катушки

Напомним, что в механической системе, энергия которой дается выражением (1), могут происходить собственные незатухающие гармонические колебания. Квадрат частоты таких колебаний равен отношению коэффициентов при квадратах смещения и скорости в выражении для энергии:

Собственная частота. В колебательном контуре, электромагнитная энергия которого дается выражением (2), могут происходить собственные незатухающие гармонические колебания, квадрат частоты которых тоже, очевидно, равен отношению соответствующих коэффициентов (т. е. коэффициентов при квадратах заряда и силы тока):

Из (4) следует выражение для периода колебаний, называемое формулой Томсона:

При механических колебаниях зависимость смещения х от времени определяется косинусоидальной функцией, аргумент которой называется фазой колебаний:

Амплитуда и начальная фаза. Амплитуда А и начальная фаза а определяются начальными условиями, т. е. значениями смещения и скорости при

Аналогично, при электромагнитных собственных колебаниях в контуре заряд конденсатора зависит от времени по закону

где частота определяется, в соответствии с (4), только свойствами самого контура, а амплитуда колебаний заряда и начальная фаза а, как и у механического осциллятора, определяется

начальными условиями, т. е. значениями заряда конденсатора и силы тока при Таким образом, собственная частота не зависит от способа возбуждения колебаний, в то время как амплитуда и начальная фаза определяются именно условиями возбуждения.

Энергетические превращения. Рассмотрим подробнее энергетические превращения при механических и электромагнитных колебаниях. На рис. 158 схематически изображены состояния механического и электромагнитного осцилляторов через промежутки времени в четверть периода

Рис. 158. Энергетические превращения при механических и электромагнитных колебаниях

Дважды за период колебаний энергия превращается из одного вида в другой и обратно. Полная энергия колебательного контура как и полная энергия механического осциллятора, в отсутствие диссипации остается неизменной. Чтобы убедиться в этом, нужно в формулу (2) подставить выражение (6) для и выражение для силы тока

Используя формулу (4) для получаем

Рис. 159. Графики зависимости от времени заряда конденсатора энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля в катушке

Неизменная полная энергия совпадает с потенциальной энергией в моменты, когда заряд конденсатора максимален, и совпадает с энергией магнитного поля катушки - «кинетической» энергией - в моменты, когда заряд конденсатора обращается в нуль, а ток максимален. При взаимных превращениях два вида энергии совершают гармонические колебания с одинаковой амплитудой в противофазе друг с другом и с частотой относительно своего среднего значения . В этом легко убедиться как из рис. 158, так и с помощью формул тригонометрических функций половинного аргумента:

Графики зависимости от времени заряда конденсатора энергии электрического поля и энергии магнитного поля показаны на рис. 159 для начальной фазы

Количественные закономерности собственных электромагнитных колебаний можно установить непосредственно на основе законов для квазистационарных токов, не обращаясь к аналогии с механическими колебаниями.

Уравнение для колебаний в контуре. Рассмотрим простейший колебательный контур, показанный на рис. 157. При обходе контура, например, против часовой стрелки, сумма напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе в такой замкнутой последовательной цепи равна нулю:

Напряжение на конденсаторе связано с зарядом пластины и с емкостью С соотношением Напряжение на индуктивности в любой момент времени равно по модулю и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции, поэтому Ток в цепи равен скорости изменения заряда конденсатора: Подставляя силу тока в выражение для напряжения на катушке индуктивности и обозначая вторую производную заряда конденсатора по времени через

Получим Теперь выражение (10) принимает вид

Перепишем это уравнение иначе, вводя по определению :

Уравнение (12) совпадает с уравнением гармонических колебаний механического осциллятора с собственной частотой Решение такого уравнения дается гармонической (синусоидальной) функцией времени (6) с произвольными значениями амплитуды и начальной фазы а. Отсюда следуют все приведенные выше результаты, касающиеся электромагнитных колебаний в контуре.

Затухание электромагнитных колебаний. До сих пор обсуждались собственные колебания в идеализированной механической системе и идеализированном LC-контуре. Идеализация заключалась в пренебрежении трением в осцилляторе и электрическим сопротивлением в контуре. Только в этом случае система будет консервативной и энергия колебаний будет сохраняться.

Рис. 160. Колебательный контур с сопротивлением

Учет диссипации энергии колебаний в контуре можно провести аналогично тому, как это было сделано в случае механического осциллятора с трением. Наличие электрического сопротивления катушки и соединительных проводов неизбежно связано с выделением джоулевой теплоты. Как и раньше, это сопротивление можно рассматривать как самостоятельный элемент в электрической схеме колебательного контура, считая катушку и провода идеальными (рис. 160). При рассмотрении квазистационарного тока в таком контуре в уравнение (10) нужно добавить напряжение на сопротивлении

Подставляя в получаем

Вводя обозначения

перепишем уравнение (14) в виде

Уравнение (16) для имеет точно такой же вид, как и уравнение для при колебаниях механического осциллятора с

трением, пропорциональным скорости (вязким трением). Поэтому при наличии электрического сопротивления в контуре электромагнитные колебания происходят по такому же закону, как и механические колебания осциллятора с вязким трением.

Диссипация энергии колебаний. Как и при механических колебаниях, можно установить закон убывания со временем энергии собственных колебаний, применяя закон Джоуля-Ленца для подсчета выделяющейся теплоты:

В результате в случае малого затухания для промежутков времени, много больших периода колебаний, скорость убывания энергии колебаний оказывается пропорциональной самой энергии:

Решение уравнения (18) имеет вид

Энергия собственных электромагнитных колебаний в контуре с сопротивлением убывает по экспоненциальному закону.

Энергия колебаний пропорциональна квадрату их амплитуды. Для электромагнитных колебаний это следует, например, из (8). Поэтому амплитуда затухающих колебаний, в соответствии с (19), убывает по закону

Время жизни колебаний. Как видно из (20), амплитуда колебаний убывает в раз за время равное независимо от начального значения амплитуды Это время х носит название времени жизни колебаний, хотя, как видно из (20), колебания формально продолжаются бесконечно долго. В действительности, конечно, о колебаниях имеет смысл говорить лишь до тех пор, пока их амплитуда превышает характерное значение уровня тепловых шумов в данной цепи. Поэтому фактически колебания в контуре «живут» конечное время, которое, однако, может в несколько раз превосходить введенное выше время жизни х.

Часто бывает важно знать не само по себе время жизни колебаний х, а число полных колебаний, которое произойдет в контуре за это время х. Это число умноженное на называют добротностью контура.

Строго говоря, затухающие колебания не являются периодическими. При малом затухании можно условно говорить о периоде, под которым понимают промежуток времени между двумя

последонательными максимальными значениями заряда конденсатора (одинаковой полярности), либо максимальными значениями тока (одного направления).

Затухание колебаний влияет на период, приводя к его возрастанию по сравнению с идеализированным случаем отсутствия затухания. При малом затухании увеличение периода колебаний очень незначительно. Однако при сильном затухании колебаний вообще может не быть: заряженный конденсатор будет разряжаться апериодически, т. е. без изменения направления тока в контуре. Так будет при т. е. при

Точное решение. Сформулированные выше закономерности затухающих колебаний следуют из точного решения дифференциального уравнения (16). Непосредственной подстановкой можно убедиться, что оно имеет вид

где - произвольные постоянные, значения которых определяются из начальных условий. При малом затухании множитель при косинусе можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду колебаний.

Задача

Перезарядка конденсаторов через катушку индуктивности. В цепи, схема которой показана на рис. 161, заряд верхнего конденсатора равен а нижний не заряжен. В момент ключ замыкают. Найти зависимость от времени заряда верхнего конденсатора и тока в катушке.

Рис. 161. В начальный момент времени заряжен только один конденсатор

Рис. 162. Заряды конденсаторов и ток в контуре после замыкания ключа

Рис. 163. Механическая аналогия для электрической цепи, показанной на рис. 162

Решение. После замыкания ключа в цепи возникают колебания: верхний конденсатор начинает разряжаться через катушку, заряжая при этом нижний; затем все происходит в обратном направлении. Пусть, например, при положительно заряжена верхняя обкладка конденсатора. Тогда

спустя малый промежуток времени знаки зарядов обкладок конденсаторов и направление тока будут такими, как показано на рис. 162. Обозначим через заряды тех обкладок верхнего и нижнего конденсаторов, которые соединены между собой через катушку индуктивности. На основании закона сохранения электрического заряда

Сумма напряжений на всех элементах замкнутого контура в каждый момент времени равна нулю:

Знак напряжения на конденсаторе соответствует распределению зарядов на рис. 162. и указанному направлению тока. Выражение для тока через катушку можно записать в любом из двух видов:

Исключим из уравнения помощью соотношений (22) и (24):

Вводя обозначения

перепишем (25) в следующем виде:

Если вместо ввести функцию

и учесть, что то (27) принимает вид

Это обычное уравнение незатухающих гармонических колебаний, которое имеет решение

где и - произвольные постоянные.

Возвращаясь от функции получим для зависимости от времени заряда верхнего конденсатора следующее выражение:

Для определения постоянных и а учтем, что в начальный момент заряд а ток Для силы тока из (24) и (31) имеем

Поскольку отсюда следует, что Подставляя теперь в и учитывая, что получаем

Итак, выражения для заряда и силы тока имеют вид

Характер осцилляций заряда и тока особенно нагляден при одинаковых значениях емкостей конденсаторов . В этом случае

Заряд верхнего конденсатора осциллирует с амплитудой около среднего значения, равного За половину периода колебаний он уменьшается от максимального значения в начальный момент до нуля, когда весь заряд оказывается на нижнем конденсаторе.

Выражение (26) для частоты колебаний разумеется, можно было написать сразу, поскольку в рассматриваемом контуре конденсаторы соединены последовательно. Однако написать выражения (34) непосредственно затруднительно, так как при таких начальных условиях нельзя входящие в контур конденсаторы заменить одним эквивалентным.

Наглядное представление о происходящих здесь процессах дает механический аналог данной электрической цепи, показанный на рис. 163. Одинаковые пружины соответствуют случаю конденсаторов одинаковой емкости. В начальный момент левая пружина сжата, что соответствует заряженному конденсатору, а правая находится в недеформированном состоянии, так как аналогом заряда конденсатора здесь служит степень деформации пружины. При прохождении через среднее положение обе пружины частично сжаты, а в крайнем правом положении левая пружина недеформирована, а правая сжата так же, как левая в начальный момент, что соответствует полному перетеканию заряда с одного конденсатора на другой. Хотя шар совершает обычные гармонические колебания около положения равновесия, деформация каждой из пружин описывается функцией, среднее значение которой отлично от нуля.

В отличие от колебательного контура с одним конденсатором, где при колебаниях происходит повторяющаяся его полпая перезарядка, в рассмотренной системе первоначально заряженный конденсатор полностью не перезаряжается. Например, при его заряд уменьшается до нуля, а затем снова восстанавливается в той же полярности. В остальном эти колебания не отличаются от гармонических колебаний в обычном контуре. Энергия этих колебаний сохраняется, если, разумеется, можно пренебречь сопротивлением катушки и соединительных проводов.

Поясните, почему из сопоставления формул (1) и (2) для механической и электромагнитной энергий сделан вывод о том, что аналогом жесткости к является а аналогом массы индуктивность а не наоборот.

Приведите обоснование вывода выражения (4) для собственной частоты электромагнитных колебаний в контуре из аналогии с механическим пружинным осциллятором.

Гармонические колебания в -контуре характеризуются амплитудой, частотой, периодом, фазой колебаний, начальной фазой. Какие из этих величин определяются свойствами самого колебательного контура, а какие зависят от способа возбуждения колебаний?

Докажите, что средние значения электрической и магнитной энергий при собственных колебаниях в контуре равны между собой и составляют половину полной электромагнитной энергии колебаний.

Как применить законы квазистационарных явлений в электрической цепи для вывода дифференциального уравнения (12) гармонических колебаний в -контуре?

Какому дифференциальному уравнению удовлетворяет сила тока в LC-контуре?

Проведите вывод уравнения для скорости убывания энергии колебаний при малом затухании аналогично тому, как это было сделано для механического осциллятора с трением, пропорциональным скорости, и покажите, что для промежутков времени, значительно превосходящих период колебаний, это убывание происходит по экспоненциальному закону. Какой смысл имеет использованный здесь термин «малое затухание»?

Покажите, что функция даваемая формулой (21), удовлетворяет уравнению (16) при любых значениях и а.

Рассмотрите механическую систему, показанную на рис. 163, и найдите зависимость от времени деформации левой пружины и скорости массивного тела.

Контур без сопротивления с неизбежными потерями. В рассмотренной выше задаче, несмотря на не совсем обычные начальные условия для зарядов на конденсаторах, можно было применить обычные уравнения для электрических цепей, поскольку там были выполнены условия квазистационарности протекающих процессов. А вот в цепи, схема которой показана на рис. 164, при формальном внешнем сходстве со схемой на рис. 162, условия квазистационарности не выполняются, если в начальный момент один конденсатор заряжен, а второй - нет.

Обсудим подробнее причины, по которым здесь нарушаются условия квазистационарности. Сразу после замыкания

Рис. 164. Электрическая цепь, для которой не выполняются условия квазистационарности

ключа все процессы разыгрываются только в соединенных между собой конденсаторах, так как нарастание тока через катушку индуктивности происходит сравнительно медленно и поначалу ответвлением тока в катушку можно пренебречь.

При замыкании ключа возникают быстрые затухающие колебания в контуре, состоящем из конденсаторов и соединяющих их проводов. Период таких колебаний очень мал, так как мала индуктивность соединительных проводов. В результате этих колебаний заряд на пластинах конденсаторов перераспределяется, после чего два конденсатора можно рассматривать как один. Но в первый момент этого делать нельзя, ибо вместе с перераспределением зарядов происходит и перераспределение энергии, часть которой переходит в теплоту.

После затухания быстрых колебаний в системе происходят колебания, как в контуре с одним конденсатором емкости заряд которого в начальный момент равен первоначальному заряду конденсатора Условием справедливости приведенного рассуждения является малость индуктивности соединительных проводов по сравнению с индуктивностью катушки.

Как и в рассмотренной задаче, полезно и здесь найти механическую аналогию. Если там две пружины, соответствующие конденсаторам, были расположены по обе стороны массивного тела, то здесь они должны быть расположены по одну сторону от него, так чтобы колебания одной из них могли передаваться другой при неподвижном теле. Вместо двух пружин можно взять одну, но только в начальный момент она должна быть деформирована неоднородно.

Захватим пружину за середину и растянем ее левую половину на некоторое расстояние Вторая половина пружины останется в недеформированном состоянии, так что груз в начальный момент смещен из положения равновесия вправо на расстояние При начальных условиях нашей задачи, когда на расстояние растянута половина пружины, запас энергии равен ибо, как нетрудно сообразить, жесткость «половины» пружины равна Если масса пружины мала по сравнению с массой шара, частота собственных колебаний пружины как протяженной системы много больше частоты колебаний шара на пружине. Эти «быстрые» колебания затухнут за время, составляющее малую долю периода колебаний шара. После затухания быстрых колебаний натяжение в пружине перераспределяется, а смещение груза практически остается равным так как груз за это время не успевает заметно сдвинуться. Деформация пружины становится однородной, а энергия системы равной

Таким образом, роль быстрых колебаний пружины свелась к тому, что запас энергии системы уменьшился до того значения, которое соответствует однородной начальной деформации пружины. Ясно, что дальнейшие процессы в системе не отличаются от случая однородной начальной деформации. Зависимость смещения груза от времени выражается той же самой формулой (36).

В рассмотренном примере в результате быстрых колебаний превратилась во внутреннюю энергию (в теплоту) половина первоначального запаса механической энергии. Ясно, что, подвергая начальной деформации не половину, а произвольную часть пружины, можно превратить во внутреннюю энергию любую долю первоначального запаса механической энергии. Но во всех случаях энергия колебаний груза на пружине соответствует запасу энергии при той же однородной начальной деформации пружины.

В электрической цепи в результате затухающих быстрых колебаний энергия заряженного конденсатора частично выделяется в виде джоулевой теплоты в соединительных проводах. При равных емкостях это будет половина первоначального запаса энергии. Вторая половина остается в форме энергии сравнительно медленных электромагнитных колебаний в контуре, состоящем из катушки и двух соединенных параллельно конденсаторов С, и

Таким образом, в этой системе принципиально недопустима идеализация, при которой пренебрегается диссипацией энергии колебаний. Причина этого в том, что здесь возможны быстрые колебания, не затрагивающие катушки индуктивности или массивного тела в аналогичной механической системе.

Колебательный контур с нелинейными элементами. При изучении механических колебаний мы видели, что колебания далеко не всегда бывают гармоническими. Гармонические колебания - это характерное свойство линейных систем, в которых

возвращающая сила пропорциональна отклонению от положения равновесия, а потенциальная энергия - квадрату отклонения. Реальные механические системы этими свойствами, как правило, не обладают, и колебания в них можно считать гармоническими лишь при малых отклонениях от положения равновесия.

В случае электромагнитных колебаний в контуре может сложиться впечатление, что мы имеем дело с идеальными системами, в которых колебания строго гармонические. Однако это верно лишь до тех пор, пока емкость конденсатора и индуктивность катушки можно считать постоянными, т. е. не зависящими от заряда и тока. Конденсатор с диэлектриком и катушка с сердечником, строго говоря, представляют собой нелинейные элементы. Когда конденсатор заполнен сегнетоэлектриком, т. е. веществом, диэлектрическая проницаемость которого сильно зависит от приложенного электрического поля, емкость конденсатора уже нельзя считать постоянной. Аналогично, индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником зависит от силы тока, так как ферромагнетик обладает свойством магнитного насыщения.

Если в механических колебательных системах массу, как правило, можно считать постоянной и нелинейность возникает только из-за нелинейного характера действующей силы, то в электромагнитном колебательном контуре нелинейность может возникать как за счет конденсатора (аналога упругой пружины), так и за счет катушки индуктивности (аналога массы).

Почему для колебательного контура с двумя параллельными конденсаторами (рис. 164) неприменима идеализация, в которой система считается консервативной?

Почему быстрые колебания, приводящие к диссипации энергии колебаний в контуре на рис. 164, не возникали в контуре с двумя последовательными конденсаторами, показанными на рис. 162?

Какие причины могут приводить к несинусоидальности электромагнитных колебаний в контуре?

Темы кодификатора ЕГЭ : свободные электромагнитные колебания, колебательный контур, вынужденные электромагнитные колебания, резонанс, гармонические электромагнитные колебания.

Электромагнитные колебания - это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур.

Колебательный контур

Колебательный контур - это замкнутый контур, образованный последовательно соединёнными конденсатором и катушкой.

Зарядим конденсатор, подключим к нему катушку и замкнём цепь. Начнут происходить свободные электромагнитные колебания - периодические изменения заряда на конденсаторе и тока в катушке. Свободными, напомним, эти колебания называются потому, что они совершаются без какого-либо внешнего воздействия - только за счёт энергии, запасённой в контуре.

Период колебаний в контуре обозначим, как всегда, через . Сопротивление катушки будем считать равным нулю.

Рассмотрим подробно все важные стадии процесса колебаний. Для большей наглядности будем проводить аналогию с колебаниями горизонтального пружинного маятника.

Начальный момент : . Заряд конденсатора равен , ток через катушку отсутствует (рис. 1 ). Конденсатор сейчас начнёт разряжаться.

Рис. 1.

Несмотря на то, что сопротивление катушки равно нулю, ток не возрастёт мгновенно. Как только ток начнёт увеличиваться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая возрастанию тока.

Аналогия . Маятник оттянут вправо на величину и в начальный момент отпущен. Начальная скорость маятника равна нулю.

Первая четверть периода : . Конденсатор разряжается, его заряд в данный момент равен . Ток через катушку нарастает (рис. 2 ).

Рис. 2.

Увеличение тока происходит постепенно: вихревое электрическое поле катушки препятствует нарастанию тока и направлено против тока.

Аналогия . Маятник движется влево к положению равновесия; скорость маятника постепенно увеличивается. Деформация пружины (она же - координата маятника) уменьшается.

Конец первой четверти : . Конденсатор полностью разрядился. Сила тока достигла максимального значения (рис. 3 ). Сейчас начнётся перезарядка конденсатора.

Рис. 3.

Напряжение на катушке равно нулю, но ток не исчезнет мгновенно. Как только ток начнёт уменьшаться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока.

Аналогия . Маятник проходит положение равновесия. Его скорость достигает максимального значения . Деформация пружины равна нулю.

Вторая четверть : . Конденсатор перезаряжается - на его обкладках появляется заряд противоположного знака по сравнению с тем, что был вначале (рис. 4 ).

Рис. 4.

Сила тока убывает постепенно: вихревое электрическое поле катушки, поддерживая убывающий ток, сонаправлено с током.

Аналогия . Маятник продолжает двигаться влево - от положения равновесия к правой крайней точке. Скорость его постепенно убывает, деформация пружины увеличивается.

Конец второй четверти . Конденсатор полностью перезарядился, его заряд опять равен (но полярность другая). Сила тока равна нулю (рис. 5 ). Сейчас начнётся обратная перезарядка конденсатора.

Рис. 5.

Аналогия . Маятник достиг крайней правой точки. Скорость маятника равна нулю. Деформация пружины максимальна и равна .

Третья четверть : . Началась вторая половина периода колебаний; процессы пошли в обратном направлении. Конденсатор разряжается (рис. 6 ).

Рис. 6.

Аналогия . Маятник двигается обратно: от правой крайней точки к положению равновесия.

Конец третьей четверти : . Конденсатор полностью разрядился. Ток максимален и снова равен , но на сей раз имеет другое направление (рис. 7 ).

Рис. 7.

Аналогия . Маятник снова проходит положение равновесия с максимальной скоростью , но на сей раз в обратном направлении.

Четвёртая четверть : . Ток убывает, конденсатор заряжается (рис. 8 ).

Рис. 8.

Аналогия . Маятник продолжает двигаться вправо - от положения равновесия к крайней левой точке.

Конец четвёртой четверти и всего периода : . Обратная перезарядка конденсатора завершена, ток равен нулю (рис. 9 ).

Рис. 9.

Данный момент идентичен моменту , а данный рисунок - рисунку 1 . Совершилось одно полное колебание. Сейчас начнётся следующее колебание, в течение которого процессы будут происходить точно так же, как описано выше.

Аналогия . Маятник вернулся в исходное положение.

Рассмотренные электромагнитные колебания являются незатухающими - они будут продолжаться бесконечно долго. Ведь мы предположили, что сопротивление катушки равно нулю!

Точно так же будут незатухающими колебания пружинного маятника при отсутствии трения.

В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением. Поэтому колебания в реальном колебательном контуре будут затухающими. Так, спустя одно полное колебание заряд на конденсаторе окажется меньше исходного значения. Со временем колебания и вовсе исчезнут: вся энергия, запасённая изначально в контуре, выделится в виде тепла на сопротивлении катушки и соединительных проводов.

Точно так же будут затухающими колебания реального пружинного маятника: вся энергия маятника постепенно превратится в тепло из-за неизбежного наличия трения.

Энергетические превращения в колебательном контуре

Продолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катушки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость , индуктивность катушки равна .

Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой.

Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен , а ток отсутствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе:

Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен , а конденсатор разряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке:

В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен и через катушку течёт ток , энергия контура равна:

Таким образом,

(1)

Соотношение (1) применяется при решении многих задач.

Электромеханические аналогии

В предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и массой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими и механическими величинами.

Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (1) :

(2)

Здесь, как вы уже поняли, - жёсткость пружины, - масса маятника, и - текущие значения координаты и скорости маятника, и - их наибольшие значения.

Сопоставляя друг с другом равенства (1) и (2) , мы видим следующие соответствия:

(3)

(4)

(5)

(6)

Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.

В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:

B соответствии с аналогиями (5) и (6) заменяем здесь массу на индуктивность , а жёсткость на обратную ёмкость . Получим:

(7)

Электромеханические аналогии не подводят: формула (7) даёт верное выражение для периода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона . Мы вскоре приведём её более строгий вывод.

Гармонический закон колебаний в контуре

Напомним, что колебания называются гармоническими , если колеблющаяся величина меняется со временем по закону синуса или косинуса. Если вы успели забыть эти вещи, обязательно повторите листок «Механические колебания».

Колебания заряда на конденсаторе и силы тока в контуре оказываются гармоническими. Мы сейчас это докажем. Но прежде нам надо установить правила выбора знака для заряда конденсатора и для силы тока - ведь при колебаниях эти величины будут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Сначала мы выбираем положительное направление обхода контура. Выбор роли не играет; пусть это будет направление против часовой стрелки (рис. 10 ).

Рис. 10. Положительное направление обхода

Сила тока считается положительной class="tex" alt="(I > 0)"> , если ток течёт в положительном направлении. В противном случае сила тока будет отрицательной .

Заряд конденсатора - это заряд той его пластины, на которую течёт положительный ток (т. е. той пластины, на которую указывает стрелка направления обхода). В данном случае - заряд левой пластины конденсатора.

При таком выборе знаков тока и заряда справедливо соотношение: (при ином выборе знаков могло случиться ). Действительно, знаки обеих частей совпадают: если class="tex" alt="I > 0"> , то заряд левой пластины возрастает, и потому class="tex" alt="\dot{q} > 0"> .

Величины и меняются со временем, но энергия контура остаётся неизменной:

(8)

Стало быть, производная энергии по времени обращается в нуль: . Берём производную по времени от обеих частей соотношения (8) ; не забываем, что слева дифференцируются сложные функции (Если - функция от , то по правилу дифференцирования сложной функции производная от квадрата нашей функции будет равна: ):

Подставляя сюда и , получим:

Но сила тока не является функцией, тождественно равной нулю; поэтому

Перепишем это в виде:

(9)

Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида , где . Это доказывает, что заряд конденсатора колеблется по гармоническому закону (т.е. по закону синуса или косинуса). Циклическая частота этих колебаний равна:

(10)

Эта величина называется ещё собственной частотой контура; именно с этой частотой в контуре совершаются свободные (или, как ещё говорят, собственные колебания). Период колебаний равен:

Мы снова пришли к формуле Томсона.

Гармоническая зависимость заряда от времени в общем случае имеет вид:

(11)

Циклическая частота находится по формуле (10) ; амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий.

Мы рассмотрим ситуацию, подробно изученную в начале этого листка. Пусть при заряд конденсатора максимален и равен (как на рис. 1 ); ток в контуре отсутствует. Тогда начальная фаза , так что заряд меняется по закону косинуса с амплитудой :

(12)

Найдём закон изменения силы тока. Для этого дифференцируем по времени соотношение (12) , опять-таки не забывая о правиле нахождения производной сложной функции:

Мы видим, что и сила тока меняется по гармоническому закону, на сей раз - по закону синуса:

(13)

Амплитуда силы тока равна:

Наличие «минуса» в законе изменения тока (13) понять не сложно. Возьмём, к примеру, интервал времени (рис. 2 ).

Ток течёт в отрицательном направлении: . Поскольку , фаза колебаний находится в первой четверти: . Синус в первой четверти положителен; стало быть, синус в (13) будет положительным на рассматриваемом интервале времени. Поэтому для обеспечения отрицательности тока действительно необходим знак «минус» в формуле (13) .

А теперь посмотрите на рис. 8 . Ток течёт в положительном направлении. Как же работает наш «минус» в этом случае? Разберитесь-ка, в чём тут дело!

Изобразим графики колебаний заряда и тока, т.е. графики функций (12) и (13) . Для наглядности представим эти графики в одних координатных осях (рис. 11 ).

Рис. 11. Графики колебаний заряда и тока

Обратите внимание: нули заряда приходятся на максимумы или минимумы тока; и наоборот, нули тока соответствуют максимумам или минимумам заряда.

Используя формулу приведения

запишем закон изменения тока (13) в виде:

Сопоставляя это выражение с законом изменения заряда , мы видим, что фаза тока, равная , больше фазы заряда на величину . В таком случае говорят, что ток опережает по фазе заряд на ; или сдвиг фаз между током и зарядом равен ; или разность фаз между током и зарядом равна .

Опережение током заряда по фазе на графически проявляется в том, что график тока сдвинут влево на относительно графика заряда. Сила тока достигает, например, своего максимума на четверть периода раньше, чем достигает максимума заряд (а четверть периода как раз и соответствует разности фаз ).

Вынужденные электромагнитные колебания

Как вы помните, вынужденные колебания возникают в системе под действием периодической вынуждающей силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы.

Вынужденные электромагнитные колебания будут совершаться в контуре, поключённом к источнику синусоидального напряжения (рис. 12 ).

Рис. 12. Вынужденные колебания

Если напряжение источника меняется по закону:

то в контуре происходят колебания заряда и тока с циклической частотой (и с периодом, соответственно, ). Источник переменного напряжения как бы «навязывает» контуру свою частоту колебаний, заставляя забыть о собственной частоте .

Амплитуда вынужденных колебаний заряда и тока зависит от частоты : амплитуда тем больше,чем ближе к собственной частоте контура .При наступает резонанс - резкое возрастание амплитуды колебаний. Мы поговорим о резонансе более подробно в следующем листке, посвящённом переменному току.

В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания .

Электромагнитными колебаниями называют периодические взаимосвязанные изменения заряда, силы тока и напряжения.

Свободными колебаниями называют такие, которые совершаются без внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.

Вынужденными называются колебания в цепи под действием внешней периодической электродвижущей силы

Свободные электромагнитные колебания – это периодически повторяющиеся изменения электромагнитных величин (q – электрический заряд, I – сила тока, U – разность потенциалов), происходящие без потребления энергии от внешних источников.

Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур или колебательный контур .

Колебательный контур – это система, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкости C , катушки индуктивности L и проводника с сопротивлением R

Рассмотрим закрытый колебательный контур, состоящий из индуктивности L и емкости С.

Чтобы возбудить колебания в этом контуре, необходимо сообщить конденсатору некоторый заряд от источника ε . Когда ключ K находится в положении 1, конденсатор заряжается до напряжения. После переключения ключа в положение 2 начинается процесс разрядки конденсатора через резистор R и катушку индуктивности L . При определенных условиях этот процесс может иметь колебательный характер

Свободные электромагнитные колебания можно наблюдать на экране осциллографа.

Как видно из графика колебаний, полученного на осцилографе, свободные электромагнитные колебания являются затухающими , т.е.их амплитуда уменьшается с течением времени. Это происходит потому, что часть электрической энергии на активном сопротивлении R превращается во внутреннюю энерги. проводника (проводник нагревается при прохождении по нему электрического тока).

Рассмотрим, как происходят колебания в колебательном контуре и какие изменения энергии при этом происходят. Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь электромагнитной энергии (R = 0).

Если зарядить конденсатор до напряжения U 0 то в начальный момент времени t 1 =0 на обкладках конденсатора установятся амплитудные значения напряжения U 0 и заряда q 0 = CU 0 .

Полная энергия W системы равна энергии электрического поля W эл:

Если цепь замыкают, то начинает течь ток. В контуре возникает э.д.с. самоиндукции

Вследствие самоиндукции в катушке конденсатор разряжается не мгновенно, а постепенно (так как, согламно правилу Ленца, возникающий индукционный ток своим магнитным полем противодействует тому изменению магнитного потока, которым он вызван. Т.е. магнитное поле индукционного тока не дает мгновенно увеличиться магнитному потоку тока в контуре). При этом ток увеличивается постепенно, достигая своего максимального значения I 0 в момент времени t 2 =T/4, а заряд на конденсаторе становится равным нулю.

По мере разрядки конденсатора энергия электрического поля уменьшается, но одновременно возрастает энергия магнитного поля. Полная энергия контура после разрядки конденсатора равна энергии магнитного поля W м:

В следующий момент времени ток течет в том же направлении, уменьшаясь до нуля, что вызывает перезарядку конденсатора. Ток не прекращается мгновенно после разрядки конденсатора вследствии самоиндукции (теперь магнитное поле индукционного тока не дает магнитному потоку тока в контуре мгновенно уменьшиться). В момент времени t 3 =T/2 заряд конденсатора опять максимален и равен первоначальному заряду q = q 0 , напряжение тоже равно первоначальному U = U 0 , а ток в контуре равен нулю I = 0.

Затем конденсатор снова разряжается, ток через индуктивность течёт в обратном направлении. Через промежуток времени Т система приходит в исходное состояние. Завершается полное колебание, процесс повторяется.

График изменения заряда и силы тока при свободных электромагнитных колебаниях в контуре показывает, что колебания силы тока отстают от колебаний заряда на π/2.

В любой момент времени полная энергия:

При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии W э, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию W м катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается постоянной.

Свободные электрические колебания аналогичны механическим колебаниям. На рисунке приведены графики изменения заряда q (t ) конденсатора и смещения x (t ) груза от положения равновесия, а также графики тока I (t ) и скорости груза υ(t ) за один период колебаний.

В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими , то есть происходят по закону

q (t ) = q 0 cos(ωt + φ 0)

Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний и период колебаний - формула Томпсона

Амплитуда q 0 и начальная фаза φ 0 определяются начальными условиями , то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия.

Для колебаний заряда, напряжения и силы тока получаются формулы:

Для конденсатора:

q (t ) = q 0 cosω 0 t

U (t ) = U 0 cosω 0 t

Для катушки индуктивности:

i (t ) = I 0 cos(ω 0 t + π/2)

U (t ) = U 0 cos(ω 0 t + π)

Вспомомним основные характеристики колебательного движения :

q 0, U 0 , I 0 - амплитуда – модуль наибольшего значения колеблющейся величины

Т - период – минимальный промежуток времени через который процесс полностью повторяется

ν - Частота – число колебаний в единицу времени

ω - Циклическая частота – число колебаний за 2п секунд

φ - фаза колебаний - величина стоящая под знаком косинуса (синуса) и характеризующая состояние системы в любой момент времени.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

§1 Колебательный контур.

Собственные колебания в колебательном контуре.

Формула Томсона.

Затухающие и вынужденные колебания в к.к.

Свободные колебания в к.к.

Колебательным контуром (к.к.) называется цепь, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности. При определенных условиях в к.к. могут возникнуть электромагнитные колебания заряда, тока, напряжения и энергии.

Рассмотрим цепь, показанную на рис.2. Если поставить ключ в положение 1, то будет происходить заряд конденсатора и на его обкладках появится заряд Q и напряжение U C . Если затем перевести ключ в положение 2, то конденсатор начнет разряжаться, в цепи потечет ток, при этом энергия электрического поля, заключенного между обкладками конденсатора, будет превращаться в энергию магнитного поля, сосредоточенную в катушке индуктивности L . Нали-чие катушки индуктивности приводит к тому, что ток в цепи увеличивается не мгновенно, а постепенно из-за явления самоиндук-ции. По мере разряда конденсатора заряд на его обкладках будет уменьшаться, ток в цепи увеличиваться. Максимального значения контурный ток достигнет при заряде на обкладках равном нули. С этого момента контурный ток начнет уменьшаться, но, благодаря явлению самоиндукции, он будет поддерживаться магнитным полем катушки индуктивности, т.е. при полном разряде конденсатора энергия магнитного поля, запасенного в катушке индуктивности, начнет переходить в энергию электрического поля. Из-за контурного тока начнется перезаряд конденсатора и на его обкладках начнет накапливаться заряд противоположный первоначальному. Перезаряд конденсатора будет происходить до тех пор, пока вся энергия магнитного поля катушки индуктивности не перейдет в энергию электрического поля конденсатора. Затем процесс повторится в обратном направлении, и, таким образом, в цепи возникнут электромагнитные колебания.

Запишем 2 -й закон Кирхгофа для рассматриваемого к.к,

Дифференциальное уравнение к.к.

Мы получили дифференциальное уравнение колебаний заряда в к.к. Это уравнение аналогично дифференциальному уравнению, описывающему движение тела под действием квазиупругой силы. Следовательно, аналогично будет записываться и решение этого уравнения